射影行列の定義と7つの大切な性質
| 目次 | |
|---|---|
| - | 射影行列の定義 |
| - | 例 |
| - | 正規直交基底による表現 |
| - | $1-P$ も射影行列 |
| - | 固有値 |
| - | 半正定値行列 |
| - | 積が $0$ と部分空間の直交性 |
| - | 交換可能な積 |
| - | スペクトル分解 |
定義
正方行列 $P$ が
例
次の行列
は射影行列である。
実際に計算してみると、
が成り立つ。
次の行列
正規直交基底による表現
任意のベクトル $\mathbf{x}$ に射影行列 $P$ を作用した $P \mathbf{x}$ の全体は、部分空間を成す。
この部分空間の正規直交基底を $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{m} \}$ とするとき、
$P$ は、
$1-P$ も射影行列
$P$ が射影行列のとき、
$1-P$ も射影行列である。
また、任意のベクトル $\mathbf{x}$ に $P$ を掛けたものと、
$1-P$ を掛けたものは直交する。
すなわち、
証明
$1-P$ も射影行列
射影行列の定義から、
が成り立つ。
したがって、
$1-P$ もまた射影行列である。
が成り立つ。
したがって、
$P\mathbf{x}$ と $(1-P)\mathbf{x}$ は直交する。
$1-P$ も射影行列
射影行列の定義から、
直交性
任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
射影行列の定義と内積と転置行列の関係によって、
射影行列の固有値
射影行列の固有値 $\lambda$ は、
証明
$P$ の固有値を $\lambda$、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとする。 このとき、
が成り立つ。
これより、
$P\mathbf{x}_{\lambda}$ 同士の内積は、
と表される。
一方、
射影行列の定義と
内積と転置行列の関係をにより、
とも表せる。
これらから、
であるので、
が成り立つ。
ここで $\mathbf{x}_{\lambda}\neq 0$ (
$
\left\| \mathbf{x}_{\lambda} \right\|^2 \neq 0
$
)
を用いた。
これを整理すると、
であるので、
である。
$P$ の固有値を $\lambda$、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとする。 このとき、
半正定値行列
射影行列 $P$ は、半正定値行列である。すなわち、
証明
射影行列 $P$ と 実ベクトル空間の任意のベクトル $\mathbf{x}$ を用いた内積 $(\mathbf{x}, \hspace{1mm}P\mathbf{x})$ には、 定義と内積と転置行列の関係によって
ところで、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
を満たす行列 $M$ を半正定値行列であるという。
したがって、 $(3)$ は、 $P$ が半正定値行列であることを表している。
射影行列 $P$ と 実ベクトル空間の任意のベクトル $\mathbf{x}$ を用いた内積 $(\mathbf{x}, \hspace{1mm}P\mathbf{x})$ には、 定義と内積と転置行列の関係によって
ところで、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
したがって、 $(3)$ は、 $P$ が半正定値行列であることを表している。
積が $0$ と部分空間の直交性
部分空間 $V_{1}$ 上への射影行列 $P_{1}$ と、
部分空間 $V_{2}$ 上への射影行列 $P_{2}$ の積が $0$ であるならば、
部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ は直交する。
すなわち、
また、 その逆も成立する。
交換可能な積
部分空間 $V_{1}$ 上への射影行列 $P_{1}$ と、
部分空間 $V_{2}$ 上への射影行列 $P_{2}$ が交換可能な場合、
すなわち、
スペクトル分解
正規行列 $A$ は、
固有値 $\overline{\lambda}_{i}$ の固有空間 $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ 上への射影行列 $P_{\overline{\lambda}_{i}}$ によって、
