射影行列の定義と7つの大切な性質

最終更新 2018年 4月30日
 
目次
- 射影行列の定義
-
- 正規直交基底による表現
- $1-P$ も射影行列
- 固有値
- 半正定値行列
- 積が $0$ と部分空間の直交性
- 交換可能な積
- スペクトル分解
定義
  正方行列 $P$ が
射影行列の定義
を満たすとき、 $P$ を実ベクトル空間上の射影行列という。

  次の行列
射影行列の例
は射影行列である。 実際に計算してみると、
が成り立つ。
正規直交基底による表現
  任意のベクトル $\mathbf{x}$ に射影行列 $P$ を作用した $P \mathbf{x}$ の全体は、部分空間を成す。 この部分空間の正規直交基底を $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{m} \}$ とするとき、 $P$ は、
射影行列の性質01
と表される。
$1-P$ も射影行列
  $P$ が射影行列のとき、 $1-P$ も射影行列である。 また、任意のベクトル $\mathbf{x}$ に $P$ を掛けたものと、 $1-P$ を掛けたものは直交する。 すなわち、
射影行列の直交性
が成り立つ。

証明
  $1-P$ も射影行列
  射影行列の定義から、
が成り立つ。 したがって、 $1-P$ もまた射影行列である。
直交性
  任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 射影行列の定義内積と転置行列の関係によって、
射影行列の直交性
が成り立つ。 したがって、 $P\mathbf{x}$ と $(1-P)\mathbf{x}$ は直交する。

射影行列の固有値
  射影行列の固有値 $\lambda$ は、
射影行列の固有値
である。

証明
  $P$ の固有値を $\lambda$、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとする。 このとき、
が成り立つ。 これより、 $P\mathbf{x}_{\lambda}$ 同士の内積は、
と表される。 一方、 射影行列の定義内積と転置行列の関係をにより、
とも表せる。 これらから、
であるので、
が成り立つ。 ここで $\mathbf{x}_{\lambda}\neq 0$ ( $ \left\| \mathbf{x}_{\lambda} \right\|^2 \neq 0 $ ) を用いた。 これを整理すると、
であるので、
である。

半正定値行列
  射影行列 $P$ は、半正定値行列である。すなわち、
射影行列は半正定値行列5
が成り立つ。

証明
    射影行列 $P$ と 実ベクトル空間の任意のベクトル $\mathbf{x}$ を用いた内積 $(\mathbf{x}, \hspace{1mm}P\mathbf{x})$ には、 定義内積と転置行列の関係によって

  ところで、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
を満たす行列 $M$ を半正定値行列であるという。
  したがって、 $(3)$ は、 $P$ が半正定値行列であることを表している。

積が $0$ と部分空間の直交性
  部分空間 $V_{1}$ 上への射影行列 $P_{1}$ と、 部分空間 $V_{2}$ 上への射影行列 $P_{2}$ の積が $0$ であるならば、 部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ は直交する。 すなわち、
射影行列と部分空間の直交性
である。
  また、 その逆も成立する。

証明
  射影行列 $P_{1}$ の作用するベクトル空間を $V$ とし、 $V$ の全ての元に $P_{1}$ を作用して得られる集合を $V_{1}$ とする。 すなわち、
とする。 このとき、 $V_{1}$ は部分空間を構成する (証明は射影行列の定義と表現を参考)。 また、 $P_{1}$ を部分空間 $V_{1}$ の上の射影行列であるという。
  この定義から、 部分空間 $V_{1}$ の任意のベクトル $\mathbf{x}_{1}$ には、
となる $V$ のベクトル $\mathbf{x}$ が存在するが、 射影行列の定義から
が成り立つ。 すなわち、 $V_{1}$ のベクトルに $V_{1}$ の上の射影行列を掛けても、 同じベクトルになるだけである。
  同じように、 $P_{2}$ を部分空間 $V_{2}$ の上への射影行列とすると、 任意のベクトル $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ に対して、
が成り立つ。
  したがって、 任意のベクトル $\mathbf{x}_{1} \in V_{1}$ と任意のベクトル $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ との内積は、
と表せる。ここで二行目の等号では内積と転置行列の関係を用いた。
  従って、任意の $\mathbf{x}_{1} \in V_{1}$ と $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ に対して
が成り立つ。 したがって、
である。 ここで、 部分空間の任意のベクトル同士が直交するときに、 部分空間が直交するといい、 $V_{1} \perp V_{2}$ のように表すことを用いた。
必要十分
  $P_{1}$ と $P_{2}$ をそれぞれ $V$ の部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ の上への射影行列とする。 このとき、 任意の $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$ に対して、
が成り立つ。 内積と転置行列の関係射影行列の定義から
が成り立つが、 右辺は $V_{1}$ のベクトルと $V_{2}$ のベクトル同士の内積であるので、 これらが直交する部分空間であるならば、 すなわち、
であるならば、
が成り立つ。 任意のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ に対して、 この関係が成立するので、
である (「内積により行列が等しいことを表す」を参考)。

交換可能な積
  部分空間 $V_{1}$ 上への射影行列 $P_{1}$ と、 部分空間 $V_{2}$ 上への射影行列 $P_{2}$ が交換可能な場合、 すなわち、
交換可能な射影行列の積
の場合には、 $P_{1}P_{2}$ が $V_{1}$ と$V_{2}$ の共通部分の上への射影行列になる。

証明
  $P_{1}$ と $P_{2}$ をそれぞれ部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ の上への射影行列とする。 すなわち、$P_{1}$ と $P_{2}$ は、
を満たし、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 $ P_{1}\mathbf{x} \in V_{1} $ と $ P_{2}\mathbf{x} \in V_{2} $ であるとする。
  このとき、$P_{1}$ と $P_{2}$ が
を満たすならば、 積の転置行列 の性質 から
が成立するので、$P_{1}P_{2}$ は射影行列である。
  また、 $\mathbf{y}$ を任意のベクトルとすると、
であり、 $(3)$ を用いると、 同じベクトルが
であるので、 $P_{1}P_{2} \mathbf{y} $ は、 部分空間 $V_{1}$ のベクトルであり、 なおかつ、 部分空間 $V_{2}$ のベクトルでもある。 このことは、 $P_{1}P_{2} \mathbf{y} $ が $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分 $V_{1} \cap V_{2}$ に属するベクトルであると言い表される。 すなわち、
である。
  以上の $(1)$ $(2)$ $(3)$ から、 $P_{1}P_{2}$ は $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分の部分空間 $V_{1} \cap V_{2}$ の上への射影行列である。

スペクトル分解
正規行列 $A$ は、 固有値 $\overline{\lambda}_{i}$ の固有空間 $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ 上への射影行列 $P_{\overline{\lambda}_{i}}$ によって、
スペクトル分解と射影行列
と表すことができる。 ここで、$r$ は、値の異なる固有値の数である。 これを行列のスペクトル分解と呼ぶ。