射影行列の定義と7つの大切な性質

証明
  $1-P$ も射影行列
  射影行列の定義から、 が成り立つ。 したがって、 $1-P$ もまた射影行列である。   任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 射影行列の定義と内積と転置行列の関係によって、 が成り立つ。 したがって、 $P\mathbf{x}$ と $(1-P)\mathbf{x}$ は直交する。

証明
  $P$ の固有値を $\lambda$、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとする。 このとき、 が成り立つ。 これより、 $P\mathbf{x}_{\lambda}$ 同士の内積は、 と表される。 一方、 射影行列の定義と 内積と転置行列の関係をにより、 とも表せる。 これらから、 であるので、 が成り立つ。 ここで $\mathbf{x}_{\lambda}\neq 0$ ( $ \left\| \mathbf{x}_{\lambda} \right\|^2 \neq 0 $ ) を用いた。 これを整理すると、 であるので、 である。

証明
    射影行列 $P$ と 実ベクトル空間の任意のベクトル $\mathbf{x}$ を用いた内積 $(\mathbf{x}, \hspace{1mm}P\mathbf{x})$ には、 定義と内積と転置行列の関係によって
  ところで、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 を満たす行列 $M$ を半正定値行列であるという。
  したがって、 $(3)$ は、 $P$ が半正定値行列であることを表している。

証明
  射影行列 $P_{1}$ の作用するベクトル空間を $V$ とし、 $V$ の全ての元に $P_{1}$ を作用して得られる集合を $V_{1}$ とする。 すなわち、 とする。 このとき、 $V_{1}$ は部分空間を構成する (証明は射影行列の定義と表現を参考)。 また、 $P_{1}$ を部分空間 $V_{1}$ の上の射影行列であるという。
  この定義から、 部分空間 $V_{1}$ の任意のベクトル $\mathbf{x}_{1}$ には、 となる $V$ のベクトル $\mathbf{x}$ が存在するが、 射影行列の定義から が成り立つ。 すなわち、 $V_{1}$ のベクトルに $V_{1}$ の上の射影行列を掛けても、 同じベクトルになるだけである。
  同じように、 $P_{2}$ を部分空間 $V_{2}$ の上への射影行列とすると、 任意のベクトル $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ に対して、 が成り立つ。
  したがって、 任意のベクトル $\mathbf{x}_{1} \in V_{1}$ と任意のベクトル $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ との内積は、 と表せる。ここで二行目の等号では内積と転置行列の関係を用いた。
  従って、任意の $\mathbf{x}_{1} \in V_{1}$ と $\mathbf{x}_{2} \in V_{2}$ に対して が成り立つ。 したがって、 である。 ここで、 部分空間の任意のベクトル同士が直交するときに、 部分空間が直交するといい、 $V_{1} \perp V_{2}$ のように表すことを用いた。   $P_{1}$ と $P_{2}$ をそれぞれ $V$ の部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ の上への射影行列とする。 このとき、 任意の $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$ に対して、 が成り立つ。 内積と転置行列の関係と射影行列の定義から が成り立つが、 右辺は $V_{1}$ のベクトルと $V_{2}$ のベクトル同士の内積であるので、 これらが直交する部分空間であるならば、 すなわち、 であるならば、 が成り立つ。 任意のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ に対して、 この関係が成立するので、 である (「内積により行列が等しいことを表す」を参考)。

証明
  $P_{1}$ と $P_{2}$ をそれぞれ部分空間 $V_{1}$ と $V_{2}$ の上への射影行列とする。 すなわち、$P_{1}$ と $P_{2}$ は、 を満たし、 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 $ P_{1}\mathbf{x} \in V_{1} $ と $ P_{2}\mathbf{x} \in V_{2} $ であるとする。
  このとき、$P_{1}$ と $P_{2}$ が を満たすならば、 積の転置行列 の性質 から が成立するので、$P_{1}P_{2}$ は射影行列である。
  また、 $\mathbf{y}$ を任意のベクトルとすると、 であり、 $(3)$ を用いると、 同じベクトルが であるので、 $P_{1}P_{2} \mathbf{y} $ は、 部分空間 $V_{1}$ のベクトルであり、 なおかつ、 部分空間 $V_{2}$ のベクトルでもある。 このことは、 $P_{1}P_{2} \mathbf{y} $ が $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分 $V_{1} \cap V_{2}$ に属するベクトルであると言い表される。 すなわち、 である。
  以上の $(1)$ $(2)$ $(3)$ から、 $P_{1}P_{2}$ は $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分の部分空間 $V_{1} \cap V_{2}$ の上への射影行列である。