単位行列の性質と公式 ～ 証明付 ～
単位行列の定義
対角成分が $1$ で、それ以外の成分が $0$ である正方行列を単位行列という。
すなわち、$n \times n$ の行列 $I$ が
具体例
2行2列の場合の単位行列 $I_{2}$ は、
である。3行3列の場合の単位行列 $I_{3}$ は、
である。4行4列の場合の単位行列 $I_{4}$ は、
である。
2行2列の場合の単位行列 $I_{2}$ は、
ベクトルとの積
単位行列 $I$ をベクトル $\mathbf{x}$ に掛けても、
ベクトルは変化しない。すなわち、
この性質を単位行列の定義としてもよい。 具体例を以下に記す。一般的な証明はこちら。
具体例
2次元ベクトルを
と表すと、
2行2列の単位行列 $I_{2}$ が
であるので、
行列の積の定義から、
が成り立つ。
同じように、
3次元ベクトルを
と表すと、
3行3列の単位行列 $I_{3}$ が
であるので、
行列の積の定義から、
が成り立つ。
2次元ベクトルを
行列との積
行列の左右から単位行列を掛けても、その行列は変わらない。
すなわち、
具体例
2行2列の行列を
と表すと、
2行2列の単位行列 $I_{2}$ が
であるので、
行列の積の定義から、
が成り立つ。
同じように、
3行3列の行列を
と表すと、
3行3列の単位行列 $I_{3}$ が
であるので、
行列の積の定義から、
が成り立つ。
2行2列の行列を
単位行列の行列式
単位行列の行列式は 1 に等しい。
すなわち
単位行列の逆行列など
単位行列の逆行列は単位行列である。
すなわち、
単位行列は逆行列を持つので、 正則行列である。 他にも単位行列は以下の行列でもある。
単位行列の固有値/固有ベクトル
単位行列の固有値は $1$ であり、
固有ベクトルは任意のベクトルである。
なぜなら、単位行列をベクトルに掛けても、そのベクトルが変わらないからである。
すなわち、
任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
クロネッカーのデルタによる表現
単位行列の定義
証明
$I^{(n)}$ を $n \times n$ の単位行列とし、 $\mathbf{x}$ を $n$ 次のベクトルとする。 このとき、 行列の積の定義より、
が $(i=1,2,\cdot, n)$ に対して成り立つ。
したがって、$I \mathbf{x}=\mathbf{x}$ である。
同じように、$A$ を任意の $n \times m$ の行列とすると、
が成り立つ
($n \times n$ の単位行列と $m \times m$ の単位行列をともに $I$ と表していることに注意)。
したがって、$IA = AI = A$ である。
$I^{(n)}$ を $n \times n$ の単位行列とし、 $\mathbf{x}$ を $n$ 次のベクトルとする。 このとき、 行列の積の定義より、
同じように、$A$ を任意の $n \times m$ の行列とすると、
正規直交基底による表現
$n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ は、
任意の正規直交基底
証明
$n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ とは、対角成分が $1$ で、 その他の成分が $0$ の $n$ 次正方行列である。
基本ベクトル $\mathbf{e}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ を
と定義すると、
これらは、
を満たすため、
正規直交基底を成す。
ここで $(\cdot, \cdot)$ は内積(ドット積)を表す記号である。
また、
単位行列 $I$ は、
$$
\tag{1}
$$
と表される。
ここで、任意の正規直交基底 $\mathbf{u}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ によって、 行列 $R$ を
$$
\tag{2}
$$
と定義する。
$\mathbf{u}_{i}$ は正規直交基底であるので、
$$
\tag{3}
$$
を満たす。
これと $(1)$ と積の転置の性質により、
である。
これより、
$$
\tag{4}
$$
も成り立つ
(証明は
「直交行列は片方のみで定義できる」を参考)。
$(2)$ と $(3)$ より、
$$
\tag{5}
$$
が成立することから、$(1)$ と $(5)$ と転置行列の積の性質から
が成立する。
これと $(4)$ から、
が成立する。すなわち、
単位行列は任意の正規直交基底によって表される。
$n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ とは、対角成分が $1$ で、 その他の成分が $0$ の $n$ 次正方行列である。
ここで、任意の正規直交基底 $\mathbf{u}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ によって、 行列 $R$ を
$(2)$ と $(3)$ より、
この関係を $\mathbf{u}_{i}$ が完全系を成すと呼ぶこともある。