行列の対角化と固有値

  $A$ を対角化可能な行列とするとき、すなわち、

行列の対角化と固有値00

を満たす対角行列 $\Lambda$ と正則行列 $R$ が存在するとき、 $\Lambda$ の対角成分は$A$ の固有値である。

最終更新 2016年 10月 30日


  証明  

  $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $a$ とし、固有ベクトルを $\mathbf{u}_{a}$ と表す。

行列の対角化と固有値01

この式は、

行列の対角化と固有値02


と表されるが、 $(1)$ が $\mathbf{u}_{a} = 0$ 以外の解を持つための必要十分条件は、 $$ |A - a I| = 0 \tag{2} $$ である(行列式が 0 の場合の同次連立一次方程式を参考)。 これが固有値 $a$ の満たす固有方程式である。
  さて、行列式 $(2)$ の両辺に $(*)$ を満たす $R$ の行列式と $R^{-1}$ の行列式を掛けると、

行列の対角化と固有値04

が成立するが、行列の積の行列式がそれぞれの行列式の積に等しいことから、

行列の対角化と固有値05

が成立する。 この式は、$(*)$ と $R^{-1}R = I$ により、

行列の対角化と固有値06

と表せる。$\Lambda$ が対角行列であることから、

行列の対角化と固有値07

と置くと、$(3)$ は、

行列の対角化と固有値08

と表せる。 対角行列の行列式は対角成分の積に等しいことから、 この式は、

行列の対角化と固有値09

と表せる。これより、

行列の対角化と固有値10

を得る。
  ゆえに、$A$ を対角化した行列の対角成分は、$A$ の固有値である。







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