半正定値行列の性質

証明
  任意のベクトル に対して、 が成り立つので、 $P$ は半正定値行列である。

証明
  $P$ を半正定値行列とする。 どんな正方行列にも固有値と固有ベクトルが存在するので、 を満たす のベクトル $\mathbf{x}_{\lambda}$ ($\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$) と複素数 $\lambda$ が存在する。
  $P$ が半正定値行列であるから、 が成り立つ。
  左辺を書き直すと、 となるので、 が成り立つ。
  最後に $\| \mathbf{x}_{\lambda} \|^{2} \neq 0$ であるので、 を得る。

証明
  $P$ を $n$ 次の半正定値行列とし、 $P$ の固有値を $\lambda_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ と表す。 ただし、大きい順に と並んでいるものとする。 一般に 半正定値行列の固有値は $0$ 以上であるので、 大きい方から $r$ 番目までの固有値が $0$ より大きいとし、 それ以降の固有値が $0$ であるとする。 すなわち、 $$ \tag{1} $$ とする。 このとき、 固有値 $\lambda_{i}$ の規格化された固有ベクトルを $\mathbf{p}_{i}$ とすると、 $$ \tag{2} $$ が成り立ち、 実対称行列の異なる固有値の固有ベクトルが互いに直交することから、 $$ \tag{3} $$ が成り立つ。 このような $\mathbf{p}$ を用いて、 行列 $R$ を と定義すると、 $(2)(3)$ より 行列 $R$ は直交行列である。 すなわち、 $$ \tag{4} $$ が成り立つ (「直交行列 ⇔ 列ベクトルが正規直交系」を参考)。 また $(1)(2)(3)$ から 行列 $R^{T} P R$ は、 $$ \tag{5} $$ という形の行列になる。ここで、 行列 $\Lambda_{r}$ を と定義した。
  $(1)$ より $\lambda_{i} > 0$ $(i=1,\cdots, r)$ であるので、 という形の行列 $S_{r}$ を定義できる。 $S$ には逆行列 があり ($S_{r}^{-1}S_{r}=S_{r}S_{r}^{-1}=I$ が成立することは、 直接計算することにより確かめられる)、 $(S_{r})^{T}=S_{r}$ が成り立つ。 この $S_{r}$ と $(5)$ を用いると、 $$ \tag{6} $$ が成り立つ。 ここで、 行列 $E_{r}$ を と定義した。 直接計算すると分かるように、 $E_{r}$ には、 が成立する。 これを用いると、 $$ \tag{7} $$ が成り立つ。 ここで、4つ目の等号では逆行列の転置行列の性質を用い、 5つ目の等号では転置行列の積の性質を用いた。 また、 6つ目の等号では、 \begin{eqnarray} Q = (RS_{r}^{-1} E_{r})^{T} \end{eqnarray} と定義した。
  一方、 $(7)$ の左辺は、$(4)$ と $(6)$ から である。 以上から、 を得る。