半正定値行列の満たす諸性質と証明
| 目次 | |
|---|---|
| - | 半正定値行列の定義 |
| - | 半正定値行列の固有値 |
| - | 半正定値行列の分解 |
| - | 同値条件 |
| - | 半正定値行列のトレース |
| - | トレースが $0$ の半正定値行列は $0$ |
半正定値行列の定義
任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
実対称行列 $P$ が
半正定値行列の固有値
$P$ を半正定値行列、
$\lambda$ を $P$ の固有値、
$\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとするとき、
すなわち、
つまり、 半正定値行列の固有値は $0$ 以上である。
証明
$P$ を半正定値行列とする。 どんな正方行列にも固有値と固有ベクトルが存在するので、
を満たす
のベクトル $\mathbf{x}_{\lambda}$ ($\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$) と複素数 $\lambda$ が存在する。
$P$ が半正定値行列であるから、
が成り立つ。
左辺を書き直すと、
となるので、
が成り立つ。
最後に $\| \mathbf{x}_{\lambda} \|^{2} \neq 0$ であるので、
を得る。
$P$ を半正定値行列とする。 どんな正方行列にも固有値と固有ベクトルが存在するので、
$P$ が半正定値行列であるから、
左辺を書き直すと、
最後に $\| \mathbf{x}_{\lambda} \|^{2} \neq 0$ であるので、
半正定値行列の分解
任意の半正定値行列 $P$ は、
正方行列 $Q$ とその転置行列 $Q^{T}$ によって、
半正定値行列の同値条件
次の $(1)(2)(3)$ は、同値である。
$(1)$ 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
実対称行列 $P$ が
$$
\left(\mathbf{x}, \hspace{1mm} P \mathbf{x} \right) \geq 0
$$
を満たす (半正定値行列の定義)。
$(2)$ 半正定値行列 の固有値 は $0$ 以上である。
$(3)$ 任意の半正定値行列 $P$ は、 正方行列 $Q$ とその転置行列 $Q^{T}$ によって、 $$ P = Q^{T}Q $$ と分解することが出来る。
である。
である。
$(2)$ 半正定値行列 の固有値 は $0$ 以上である。
$(3)$ 任意の半正定値行列 $P$ は、 正方行列 $Q$ とその転置行列 $Q^{T}$ によって、 $$ P = Q^{T}Q $$ と分解することが出来る。
証明
が成り立つ。
2行目の等号では内積と転置行列の関係を用いた。
以上から $(1)(2)(3)$ は、同値である。
● $(1) \Longrightarrow (2)$
は、半正定値行列の固有値を参考。
● $(2) \Longrightarrow (3)$
は、半正定値行列の分解 を参考。
● $(3) \Longrightarrow (1)$
$P=Q^{T}Q$ と表されるならば、任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、
以上から $(1)(2)(3)$ は、同値である。
半正定値行列のトレース
半正定値行列 $P$ のトレースは 0 以上である。
すなわち
証明
$n$ 次正方行列 $A$ の作用するベクトル空間の任意の正規直交基底を $\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ と表すとき、 $A$ のトレースは、
と表せる (トレースの正規直交基底による表現を参考)。
$A$ が半正定値行列の場合、 任意のベクトル $\mathbf{u}$ に対して、
が成り立つので、
である。
したがって
が成り立つ。
$n$ 次正方行列 $A$ の作用するベクトル空間の任意の正規直交基底を $\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ と表すとき、 $A$ のトレースは、
$A$ が半正定値行列の場合、 任意のベクトル $\mathbf{u}$ に対して、
トレースが $0$ の半正定値行列は $0$
半正定値行列 $P$ のトレースが $0$ であるならば、
$P$ も $0$ である。
すなわち、
証明
半正定値行列は正方行列とその転置行列の積によって分解できるので、 半正定値行列 $P$ を
と分解する正方行列 $Q$ が存在する。
これより、
となる。
よって、
$
\mathrm{Tr}[P] = 0
$
ならば、
である。これより、
である (正方行列とその転置行列の積のトレースが $0$ の場合には、
行列そのものが 0 になる を参考) 。
したがって、
である。
半正定値行列は正方行列とその転置行列の積によって分解できるので、 半正定値行列 $P$ を
これより、