行列のランクが満たす諸性質

最終更新 2017年 2月12日
目次
- 転置行列のランク
- 行列の積のランク
- 正則行列との積のランク
- ランクは簡約化した行列の主成分の数
- ランクは写像の次元
- ランクは行ベクトルの次元に等しい
- 行列のランクは行の数以下かつ列の数以下
  転置行列のランク
  転置行列のランクは、元の行列のランクに等しい。すなわち、
転置行列のランク
が成り立つ。
行列の積のランク
  行列の積のランクは、 積を構成するそれぞれの行列のランク以下である。 すなわち、行列 $A$,$B$ に対して、
行列の積のランクの性質
が成り立つ。
正則行列との積のランク
  行列に正則行列を掛けてもランクは変わらない。 すなわち、行列 $A$ と正則行列 $B$, $C$ に対して、
正則行列との積のランク
が成り立つ。 <
ランクは簡約化した行列の主成分の数に等しい
  行列 $A$ を簡約化した行列を $A^{e}$ とするとき、 $A$ のランクは、$A^{e}$ の主成分の数に等しい。 すなわち、
ランクは簡約化した行列の主成分の数に等しい
が成り立つ。
ランクは写像の次元に等しい
  行列 $A$ を作用したベクトルは、 行列のランクに等しい数の線形独立なベクトルの線形結合によって表される。 言い換えると、 $A$ の写像の次元は、$A$ のランクに等しい。 すなわち、
ランクは写像の次元に等しい
が成り立つ。
ランクは行ベクトルの次元に等しい
  行列のランクは、 行ベクトルに含まれる線形独立なベクトルの最大数 (行ベクトルの次元) に等しい。
行列のランクは、その行列の行の数以下であり、列の数以下でもある
  $A$ を $m$ 行 $n$ 列の行列とするとき、$A$ のランクは、$A$ の行の数以下であり、列の数以下でもある。 すなわち、
行列のランクは、その行列の行の数以下であり、列の数以下
が成立する。