転置行列の定義と8つの大切な性質

最終更新 2018年 1月1日
目次
- 定義
-
- 積の転置行列
- 転置の転置
- 逆行列
- 行列式
- 内積と転置
- トレース
- 固有値
- ランク
定義
  ある行列の行と列を入れ替えた行列をその行列の転置行列という。 行列 $A$ の転置行列を $A^{T}$ とすると、
転置行列の定義
が各成分に対して成り立つ ( 添え字の順序が入れ替わっている )。
  行列
の転置行列は、
転置行列の満たす例
である。また、行列
の転置行列は、
である。
  積の転置行列
  行列 $A$ と $B$ の積の転置行列は、 積の順序を逆にした転置行列の積に等しい。 すなわち、
が成り立つ。
  転置行列の転置行列
  行列 $A$ の転置行列の転置行列は、もとの行列の積に等しい。すなわち、
が成り立つ。
転置行列の逆行列
  行列 $A$ の転置行列 $A^{T}$ の逆行列は、 $(A^{-1})^{T}$ である。 すなわち
が成り立つ。
転置行列の行列式
  $A$ を正方行列とするとき、$A$ の転置行列 $A^{T}$ の行列式 $|A^{T}|$ は、 もとの行列 $A$ の行列式 $|A|$ に等しい。すなわち、
転置行列の行列式
である。
内積と転置
  任意の $n$ 次実ベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ の内積を
と定義するとき、任意の正方行列 $A$ は、
を満たす。
 
  転置行列のトレース
  $A$ を正方行列とするとき、$A$ の転置行列 $A^{T}$ のトレースは、$A$ のトレースに等しい。すなわち、
転置行列のトレース
である。
転置行列の固有値
  転置行列の固有値は、 もとの行列の固有値でもある。 すなわち、 $$ A^{T} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$ を満たす $\lambda$ は、 $$ A \mathbf{y} = \lambda \mathbf{y} $$ も満たす。
転置行列のランク
  転置行列のランクは、 もとの行列のランクに等しい。 すなわち、
転置行列のランク
が成り立つ。