随伴行列の定義と大切な8つの性質

最終更新 2018年 2月28日   行列 $A$ の随伴行列 $A^{\dagger}$ とは、 $A$ の転置行列の各成分を複素共役にしたものである。 すなわち、 $A$ の各成分を $A_{ji}$ と書き表すとき、 $A^{\dagger}$ の各成分 $A^{\dagger}_{ij}$ は、 と定義される。   随伴行列の反線形性を持つ。 すなわち、 が成り立つ。

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  任意の $n$ 次複素ベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ の内積を と定義するとき、任意の正方行列 $A$ は、 を満たす。
  ここで、$A^{\dagger}$ は $A$ の随伴行列であり、$x_{i}^{*}$ はベクトルの成分 $x_{i}$ の複素共役である。   行列 $A$ と $B$ の積の随伴行列 $(AB)^{\dagger}$ は、 積の順番を逆にした随伴行列の積に等しい。 すなわち、 が成り立つ。

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  随伴行列 $A^{\dagger}$ の逆行列は、 逆行列の随伴行列である。 すなわち、 が成り立つ。

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  随伴行列の随伴行列は、 もとの行列である。 すなわち、 が成り立つ。   随伴行列の行列式は、 もとの行列の行列式の複素共役である。 すなわち、 が成り立つ。   随伴行列 $A^{\dagger}$ の固有値は、$A$ の固有値の複素共役である   随伴行列のトレースはもとの行列のトレースの複素共役に等しい。 すなわち、 が成り立つ。