行列のトレースの性質
| 定義 | |
|---|---|
| - | トレースの定義 |
| - | 例 |
| 性質 | |
|---|---|
| - | 対称性 |
| - | 循環性 |
| - | 相似変換不変性 |
| - | 線形性 |
| - | 三つの性質で定義可能 |
| - | トレース = 固有値の和 |
| - | 正規直交基底による表現 |
| 様々な行列のトレース | |
|---|---|
| - | 転置行列のトレース |
| - | 随伴行列のトレース |
| - | 半正定値行列のトレース |
| - | 行列と転置行列の積のトレースが $0$ ⇒ 行列が $0$ |
トレースの定義と例
正方行列 $A$ のトレースとは、行列の対角成分の総和である。$A$ を $n$ 次とし、
$A$ の $ij$ 成分を $A_{ij}$ とするとき、
例:
行列
行列
トレースの対称性
行列の積のトレースは、
積の順序を入れ替えた行列のトレースに等しい。
すなわち、
$A$ と $B$ をそれぞれ $m \times n$ の行列、
$n \times m$ の行列とするとき、
証明
$A$ を $m \times n$、$B$ を $n \times m$ の行列とすると、 $AB$ は $m \times m$ の行列であり、 トレースの定義より $AB$ のトレースには、
である。行列の積の定義より、
であることを用いると、
が成り立つことが分かる。
$A$ を $m \times n$、$B$ を $n \times m$ の行列とすると、 $AB$ は $m \times m$ の行列であり、 トレースの定義より $AB$ のトレースには、
トレースの循環性
$A$、$B$、$C$ をそれぞれ $m\times n$、$n \times l$、$l \times m$ の行列とするとき、
相似変換不変性
$A$ を正方行列、
$P$
を正則行列
(逆行列が存在する行列)
とする。トレースは相似変換
トレースの線形性
$A$ と $B$ を正方行列、
$\alpha$ と $\beta$ を定数とするとき、
トレースを三つの条件で定義
$A$ と $B$ を $n$ 次正方行列とし、
$\alpha$ と $\beta$ を定数とするとき、
関数 $f$ が
証明
準備
$i$ 行 $j$ 列成分のみが $1$ であり、 他の成分が $0$ である $n$ 次正方行列を $E_{ij}$ とする。
$i \neq j$ の場合、次の関係が成立する。
また、任意の正方行列 $A$ を
と表すことが出来る。
ここで $A_{ij}$ は、$A$ の $i$ 行 $j$ 列成分である。
単位行列 $I$ の場合には、
と表される。
以上の関係を用いる。
と表される。
ここで、
$i \neq j$ の場合
が成り立つが、
条件 $(1)$ の $\alpha = \beta = 0$ の場合を考えると、
$
f(0) = 0
$
であるので、
が成立する。
従って、
$f(A)$ を
と表すことが出来る。
ここで、
上の準備と条件 $(2)$ を用いると、
である。
すなわち、
が成り立つ。
従って、
$f(A)$ を
と表せる。
ここで、条件 $(1)$ と $(3)$ を用いると、
が成り立つので、
である。
従って、
である。
準備
$i$ 行 $j$ 列成分のみが $1$ であり、 他の成分が $0$ である $n$ 次正方行列を $E_{ij}$ とする。
証明
$n \times n$ の行列 $A$ に対して、
上の準備と条件 $(1)$ を用いると、
$f(A)$ は
ここで、条件 $(1)$ と $(3)$ を用いると、
トレース ＝ 固有値の和
任意の $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を
$\lambda_{i} (i=1,2 \cdots, n)$ とするとき、
$A$ のトレースは、
$A$ の固有値の総和に等しい。
すなわち、
証明
任意の正方行列 $A$ は三角化可能である。 すなわち、
を満たす上三角行列
$\Lambda$ と正則行列 $P$ が存在する。
また、$\Lambda$ の対角成分は $A$ の固有値である
(三角化可能を参考)。
そこで
$\Lambda$ を
と表すことにする。
また、$P$ は正則行列であるので、
が成り立つ。
これらと相似変換不変性を用いると、
が成り立つことが分かる。
最後の等号ではトレースの定義を用いた。
任意の正方行列 $A$ は三角化可能である。 すなわち、
トレースの正規直交基底による表現
$A$ を $n$ 次正方行列、
$\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ を任意の正規直交基底とするとき、
$A$ のトレースを
証明
$n$ 次正方行列 $A$ を成分によって、
と表す。
また、
$\mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, \cdots, \mathbf{b}_{n} $ を基本ベクトル
とする。
これらによって、 $A$ の対角成分 $A_{ii}$ は
と表される。
したがって、$A$ の トレースは
と表される。
任意の正規直交基底を $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ とし、 行列 $R$ を
と定義する。
${\mathbf{e}_{i}}$ と ${\mathbf{b}_{i}}$ は正規直交基底であるので、
を満たす。
ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ
である。
これらから、
が成り立つことが分かる。
ここで、単位行列が正規直交基底を用いた和によって表されること、
を用いた。
これより $RR^{T} = I$ も示されるので (証明は直交行列は片方のみで定義可能を参考)、
が成立する ($R$ は直交行列 )。
また $(2)$ から
である ($i=1,2,\cdots,n$)。
これらと内積と転置の関係から、
が成り立つが、
$(1)$ と同様に考えると、
右辺は行列 $ R A R^{T}$ のトレースであることが分かるので、
が成り立つ。
ここで最後の等式で トレースの循環性 を用いた。
$n$ 次正方行列 $A$ を成分によって、
任意の正規直交基底を $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ とし、 行列 $R$ を
これらと内積と転置の関係から、
転置行列のトレース
正方行列 $A$ の転置行列 $A^{T}$ のトレースは、
$A$ のトレースに等しい。
すなわち、
随伴行列のトレース
随伴行列のトレースはもとの行列のトレースの複素共役に等しい。
すなわち、
半正定値行列のトレース
半正定値行列 $A$ のトレースは $0$ 以上である。
すなわち
行列と転置行列の積のトレースが $0$ ならば、行列が $0$
正方行列 $A$ と転置行列 $A^{T}$ の積のトレースが $0$ ならば、
$A$ は $0$ 行列である。
すなわち
証明
$A$ を $n$ 次正方行列とし、 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ を任意の正規直交基底とする。 このとき、$A^{T}A$ のトレースを正規直交基底によって、
と表すことができる(トレースの正規直交基底の表現を参考)。
したがって、 $\mathrm{Tr}[A^{T}A] = 0$ であるならば、
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ。
ところで、
左辺の各項は 内積と転置行列の関係から
と表せるので、 $(1)$ 式を
$$
\tag{2}
$$
と書き直すことができ、
であることから、
$(2)$ は各項が $0$ 以上の総和が $0$ に等しいことを表している。
したがって、
$(2)$ の
各項は $0$ 以外はありえない。
すなわち、
が成り立つ。
すると、
一般にノルムが $0$ のベクトルは $0$ ベクトルのみであることから、
が成り立つ。
ここで $i=1,2,\cdots,n$ である。
これより、 任意のベクトル $\mathbf{v}$ を正規直交基底 $\{ \mathbf{e}_{i} \}$ によって
と展開し、$A$ を掛けると、
が成り立つことが分かる。
これは $A$ を任意のベクトルに作用すると $0$ ベクトルになることを表している。 このような行列は $0$ 行列のみである (行列の等号の意味を参考)。 ゆえに
である。
$A$ を $n$ 次正方行列とし、 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ を任意の正規直交基底とする。 このとき、$A^{T}A$ のトレースを正規直交基底によって、
したがって、 $\mathrm{Tr}[A^{T}A] = 0$ であるならば、
これより、 任意のベクトル $\mathbf{v}$ を正規直交基底 $\{ \mathbf{e}_{i} \}$ によって
これは $A$ を任意のベクトルに作用すると $0$ ベクトルになることを表している。 このような行列は $0$ 行列のみである (行列の等号の意味を参考)。 ゆえに