行列のトレースの性質

	目次
-	トレースの定義
-	例
-	トレースの循環性: $\mathrm{Tr}[AB]=\mathrm{Tr}[BA]$
-	トレースの線形性
-	トレースを三つの性質で定義
-	トレース = 固有値の和: $\mathrm{Tr}[A]=\sum \lambda_{i}$
-	正規直交基底による表現: $\mathrm{Tr}[A]=\sum (\mathbf{e}_{i},A\mathbf{e}_{i})$

	様々な行列のトレース
-	ユニタリー変換はトレース不変
-	転置行列のトレース
-	随伴行列のトレース
-	半正定値行列のトレース
-	行列と転置行列の積のトレースが $0$ ならば、行列が $0$

トレースの定義と例

正方行列 $A$ のトレースとは、行列の対角成分の総和である。$A$ を $n$ 次とし、 $A$ の $ij$ 成分を $A_{ij}$ とするとき、

と定義される。

例:

行列

のトレースは、

である。
行列

のトレースは、

である。

トレースの循環性

行列の積のトレースは、順序を入れ替えた積のトレースに等しい。すなわち、 $A$ と $B$ をそれぞれ $m \times n$ の行列、 $n \times m$ の行列とするとき、

が成立する。

証明
$A$ を $m \times n$、$B$ を $n \times m$ の行列とすると、 $AB$ は $m \times m$ の行列であり、トレースの定義より $AB$ のトレースには、

が成り立つ。ここで行列の積の定義から

であることを用いた。

応用例:
$A$、$B$、$C$ をそれぞれ $m\times n$、$n \times l$、$l \times m$ の行列とするとき、

が成り立つ。
このようにトレースには、

の入れ替えに対する不変性がある。この性質をトレースの循環性という。

トレースの線形性

$A$ と $B$ を正方行列、 $\alpha$ と $\beta$ を定数とするとき、

が成り立つ。

証明
$A$, $B$ を $n$ 次正方行列とする。トレースの定義により、 $\alpha A + \beta B$ のトレースには、

が成り立つ。

トレースを三つの条件で定義

$A$ と $B$ を $n$ 次正方行列とし、 $\alpha$ と $\beta$ を定数とするとき、関数 $f$ が

の条件を満たすならば、 $f$ はトレースである。すなわち、

が成立する。

準備
$i$ 行 $j$ 列成分のみが $1$ であり、他の成分が $0$ である $n$ 次正方行列 $E_{ij}$ とする。

$i \neq j$ の場合、次の関係が成立する。

また、任意の正方行列 $A$ を

と表すことが出来る。ここで $A_{ij}$ は、$A$ の $i$ 行 $j$ 列成分である。単位行列 $I$ の場合には、

と表される。
以上の関係を用いる。

証明

$n \times n$ の行列 $A$ に対して、上の準備と条件 $(1)$ を用いると、 $f(A)$ は

と表される。ここで、 $i \neq j$ の場合

が成り立つが、条件 $(1)$ の $\alpha = \beta = 0$ の場合を考えると、 $ f(0) = 0 $ であるので、

が成立する。
従って、 $f(A)$ を

と表すことが出来る。
ここで、上の準備と条件 $(2)$ を用いると、

であるので、全ての $f(E_{ii})$ $(i=1,2,\cdots, n)$ は等しい。すなわち、

が成り立つ。従って、 $f(A)$ を

と表せる。
ここで、条件 $(1)$ と $(3)$ を用いると、

が成り立つので、

である。従って、

である。

トレース＝固有値の和

任意の $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_{i} (i=1,2 \cdots, n)$ とするとき、 $A$ のトレースは、 $A$ の固有値の総和に等しい。すなわち、

が成り立つ。このことから、トレースを固有和と呼ぶこともある。

証明
任意の正方行列 $A$ は三角化可能である。すなわち、

を満たす上三角行列 $\Lambda$ と正則行列 $P$ が存在する。また、$\Lambda$ の対角成分は $A$ の固有値である。
$A$ を $n$ 次正方行列とし、 $\lambda_{i} (i=1,2,\cdots,n)$ は $A$ の固有値とする。 $\Lambda$ は $A$ の固有値を対角成分に持つ上三角行列であるので、

と表すことにする。また、$P$ は正則行列であるので、

が成り立つ。これらとトレースの循環性を用いると、 \begin{eqnarray} \mathrm{Tr}[A] &=& \mathrm{Tr}[IA] \\ &=& \mathrm{Tr}[PP^{-1}A] \\ &=& \mathrm{Tr}[P^{-1}AP] \\ &=& \mathrm{Tr}[\Lambda] \\ &=& \mathrm{Tr} \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_{1} & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_{2} & & * \\ \vdots && \ddots & \vdots \\ 0& 0 &\cdots & \lambda_{n} \end{array} \right] \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \end{eqnarray} を得る。最後の等号ではトレースの定義を用いた。

トレースの正規直交基底による表現

$A$ を $n$ 次正方行列、 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ を任意の正規直交基底とするとき、 $A$ のトレースを