べクトルの内積とは？ ～ 具体例と性質 ～

  実ベクトル空間 $V$ の任意の二つのベクトル $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ のペアを実数にする写像 が 次のルール を満たすとき、 写像 $(\cdot, \cdot)$ を実ベクトル空間上の内積と呼ぶ。 ここで $a$ は実定数である。   $n$ 次元実ベクトル空間のベクトル によって写像 を定義すると、 内積のルール $(1)$ $(2)$ $(3)$ を満たす。
  この内積を標準内積と呼ぶ。

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  $m \times n$ の実行列 によって写像 を定義すると、 内積のルール $(1)$ $(2)$ $(3)$ を満たす。 ここで $T$ は転置行列を表し、 $\mathrm{Tr}$ は トレースを表す

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  複素ベクトル空間 $V$ の任意の二つのベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ のペアを複素数にする写像 が 次の性質 を満たすとき、 写像 $(\cdot, \cdot)$ を複素ベクトル空間上の内積と呼ぶ。 ここで $*$ は複素共役を表す。   $n$ 次元複素ベクトル空間のベクトル によって写像 を定義すると、 内積のルール $(1)$ $(2)$ $(3)$ を満たす。
  この内積を標準内積と呼ぶ。

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  $m \times n$ の複素行列 によって写像 を定義すると、 内積のルール $(1)$ $(2)$ $(3)$ を満たす。 ここで $\dagger$ は随伴行列を表し、 $\mathrm{Tr}$ は行列のトレースを表す。

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  複素ベクトルの内積は、右側のベクトルについては と線形であるが、 左側のベクトルについては と反線形である。

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  任意の実ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の間の内積には の関係を満たす $\theta$ が存在する。 ここで、$\| \cdot \|$ は内積によるノルムを表す記号である。 $\theta$ を $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の成す角と呼ぶ。

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  複素ベクトル空間 $V$ の任意の二つのベクトル $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ に対して、 \begin{eqnarray} (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq \left\| \mathbf{u} \right\| \hspace{1mm} \left\| \mathbf{v} \right\| \end{eqnarray} が成り立つ。 ここで $ \| \cdot \| $ はノルム \begin{eqnarray} \left\| \mathbf{u} \right\| = (\mathbf{u}, \mathbf{u})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray} である。   $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ をそれぞれ $m$ 次と $n$ 次の実ベクトルとし、 $A$ を任意の $m \times n$ の実行列とするとき、 \begin{eqnarray} (\mathbf{x}, A \mathbf{y}) = (A^{T} \mathbf{x}, \mathbf{y}) \end{eqnarray} が成り立つ。
  ここで、 $A^{T}$ は $A$ の転置行列である。   $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ をそれぞれ $m$ 次と $n$ 次の複素ベクトルとし、 $U$ を任意の $m \times n$ の複素行列とするとき、 \begin{eqnarray} (\mathbf{u}, U \mathbf{v}) = (U^{\dagger} \mathbf{u}, \mathbf{v}) \end{eqnarray} が成り立つ。
  ここで、 $U^{\dagger}$ は $U$ の随伴行列である。