固有値、固有ベクトルの基礎と具体例

	一般論
-	定義: 固有値と固有ベクトル
-	固有値の存在
-	固有方程式の解 = 固有値
-	固有多項式の因数分解
-	固有ベクトルの不定性
-	固有ベクトルの線形独立性

	具体例
-	例1: (固有値と固有ベクトル)
-	例2: (固有値の導出)
-	例3: (因数分解)
-	例4: (固有ベクトルの導出)
-	例5: (線形独立性)
-	例6: 2行2列の行列の固有値

	性質
-	固有値の積 = 行列式
-	固有値の和 = トレース
-	対角化された行列の対角成分 = 固有値
-	対角化可能な行列の固有空間の次元 = 固有方程式の重複度

	その他
-	摂動論
-	特殊な場合

固有値と固有ベクトルの定義

正方行列 $A$ に対し、

の関係を満たす数 $\lambda$ とベクトル $\mathbf{x}_{\lambda}$ を、それぞれ $A$ の固有値と固有ベクトルという (例1) 。
任意の正方行列には固有値と固有ベクトルが存在する (固有値の存在を参考)。

固有値と固有ベクトルの存在

任意の正方行列 $A$ には固有値と固有ベクトルが存在する。すなわち、$A$ には

を満たす $\lambda$ と $\mathbf{x}_{\lambda}$ が存在する。

証明
$A$ を $n$ 次正方行列とし、 $I$ を $n$ 次の単位行列とする。 $\lambda$ を変数とする行列式方程式

$$ \tag{1} $$ には複素数の範囲に解が存在する。なぜなら、方程式 $(1)$ は $\lambda$ に関する $n$ 次方程式であるので (行列式の定義を参考)、代数学の基本定理によって、複素数の範囲に解が存在することが保証される。また、一般に行列式が $0$ の係数行列を持つ同次連立一次方程式は非自明な解 ($0$ でない解) が存在することが知られている。これより、

を満たす $\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$ (自明でない解) が存在することになる。これを書き換えると、

である。
以上から、任意の正方行列 $A$ には、固有値と固有ベクトルが存在することが示された。
$(1)$ を固有方程式という。

補足
上では、固有値・固有ベクトルの存在を証明する目的があったので、「固有方程式 ⇒ 固有値/固有ベクトル」の順序で議論したが、通常は以下のように「固有値/固有ベクトル ⇒ 固有方程式」の順序で議論される。

固有方程式の解 = 固有値

$n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とし、固有値が $\lambda$ になる固有値ベクトルを $\mathbf{x}_{\lambda}$ とする。

これより、

が成り立つ。ここで $I$ は単位行列である。
この式は同次連立一次方程式であるので、 $\mathbf{x} \neq 0$ の解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が $0$ になることである (「自明な解でない解を持つ ⇔ 行列式=0」を参考)。すなわち、

が成り立つことである。
この方程式を固有方程式という。左辺は $n$ 次正方行列の行列式であるので、固有方程式は $\lambda$ に関する $n$ 次方程式である (行列式の定義を参考)。そして固有方程式の解が行列 $A$ の固有値である (例2)。

固有多項式の因数分解

$n$ 次正方行列に対する固有方程式

の左辺

は、$n$ 次多項式である (行列式の定義を参考)。これを固有多項式という。固有多項式は $A$ の固有値 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots \lambda_{n}$ によって

と因数分解可能である (例3)。

証明
関数

$$ \tag{1} $$ は $n$ 次多項式である (行列式の定義を参考)。したがって、方程式

$$ \tag{2} $$ は $n$ 次方程式であり、代数学の基本定理によって、複素数の範囲に必ず解が存在する。この解を $\lambda_{1}$ とすると、

を満たすので、因数定理により、 $f(\lambda)$ を

と表せる。ここで $f_{n-1}(\lambda)$ は $n-1$ 次多項式である。
続いて方程式

は $n-1$ 次方程式である。したがって、代数学の基本定理によって、この方程式には複素数の範囲に必ず解が存在する。その解を $\lambda_{2}$ とすると、

と表せる。ここで $f_{n-2}(\lambda)$ は $n-2$ 次多項式である。
以上から、$f(\lambda)$ を

と表せる。
同様の論法を繰り返してゆくと、最後には、一次式が現れ、$f(\lambda)$ を

と表せる。これより、$f(\lambda)$ が

$$ \tag{3} $$ と因数分解されることが分かった。ここで $\lambda_{n} = d/C$ である。
この因数分解と $(1)$ と $(2)$ から

が成り立つが、 $\lambda$ は $A$ に対する固有方程式 $(2)$ の解であるので (代数学の基本定理)、 $A$ の固有値である。したがって、因数分解 $(3)$ に含まれる $\lambda_{i}$ は $A$ の固有値である。

固有ベクトルの不定性

固有ベクトルは唯一つに定まらずに、不定性が残る (例4)。

証明
$n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とし、固有値が $\lambda$ になる固有値ベクトルを $\mathbf{x}_{\lambda}$ とする。

これより、

$$ \tag{1} $$ が成り立つ。ここで $I$ は単位行列である。
行列 $\lambda I - A$ の列ベクトルを

$$ \tag{2} $$ とする。すなわち、

とする。また、$\mathbf{x}$ を

と表すと、$(1)$ は、

と表される。ゆえに $(2)$ は互いに線形従属なベクトル集合である。なぜなら、 $\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$ であるので、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ の各成分のうち少なくてもどれか一つが $x_{i} \neq 0$ となるからである。
$(2)$ が線形従属であるので、 $(2)$ の中に含まれる線形独立なベクトルの数は多くてもせいぜい $n-1$ 個である。したがってランクの定義から、

である。これより、

である。左辺は同次連立一次方程式 $(1)$ の解空間の次元である (「同次連立一次方程式の解空間の次元」を参考)。そこで、

とすると、 $(1)$ の解 $\mathbf{x}_{\lambda}$ は $d$ 個の線形独立なベクトルの線形結合で表される。すなわち、

のように表される。ここで $\mathbf{b}_{i}$ は ($(1)$ の解空間の基底を成す) 互いに線形独立なベクトルであり、$C_{i}$ は線形結合の係数である。
以上のように $(1)$ の解 $\mathbf{x}_{\lambda}$ には不定係数 $C_{i}$ が含まれるので、唯一つに定まらない。 $\mathbf{x}_{\lambda}$ は $A$ の固有ベクトルであるので、次の結論を得る。すなわち、 $A$ の固有ベクトルは唯一つに定まらない。

固有ベクトルは線形独立

固有値の異なる固有ベクトルは、互いに線形独立である (例5)。

証明
行列 $A$ の固有値が異なる固有ベクトルを

とする。すなわち、

$$ \tag{1} $$ とする。これに対し、

$$ \tag{2} $$ が成り立つのが

の場合のみであれば、 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}$ は互いに線形独立である (線形独立の定義を参考)。以下ではこのことを証明する。
$(2)$ に行列 $A$ を掛けて、$(1)$ を用いると、

を得る。もう一度 $A$ を掛けて、再び $(1)$ を用いると、

を得る。このような操作を $n-1$ 回繰り返し、 $(2)$ も含めて並べると、

を得る。
これらは行列を用いて

$$ \tag{3} $$ とまとめられる。ここで、行列 $V$ を

と定義し、行列 $O$ を

と定義すると、$O$ は、全ての成分が $0$ の正方行列であり、 $(3)$ は、

$$ \tag{4} $$ と表される。ここで $V^{T}$ は $V$ の転置行列である。
ところで、$V$ はヴァンデルモンド行列と呼ばれる行列であり、行列式が

であることが知られている (ヴァンデルモンドの行列式を参考)。具体的に表すと、

である。従って、$(1)$ から

である。また、転置行列の行列式の性質から、

であるので、

である。行列式が $0$ でない行列は逆行列を持つので、

を満たす $(V^{T})^{-1}$ が存在する。これと $(4)$ より、

が成立する。これより、

$(i=1,2,\cdots,n)$ であるが、各 $\mathbf{u}_{i}$ は固有ベクトルであるので、

である。よって、

である。
以上から、固有ベクトル $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}$ は、互いに線形独立なベクトルである。

例1: 固有値と固有ベクトル

行列

とベクトル $\mathbf{x}$

は、

の関係にあるので、値 $3$ は $A$ の固有値である。また、ベクトル $\mathbf{x}$ は $A$ の (固有値が $3$ になる) 固有ベクトルである。

例2: 固有方程式と固有値の導出

行列

の固有値と固有ベクトルをそれぞれ $\lambda$ と $\mathbf{x}_{\lambda}$ とする。すなわち、

とする。これより、

が成り立つ。 $\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$ であるので、係数行列の行列式は $0$ である (「自明な解でない解を持つ ⇔ 行列式=0」を参考)。すなわち、

が成り立つ。これが行列 $A$ に対する固有方程式である。左辺が $2 \times 2$ の行列式であるので、固有方程式は

と表される $2$ 次方程式である。
これより、固有値が

と求まる。

例3: 固有多項式と因数分解

行列 \begin{eqnarray} A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] \end{eqnarray} の固有方程式は \begin{eqnarray} \left| \begin{array}{cc} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 1 \end{array} \right| = 0 \end{eqnarray} であり、これより、固有値は \begin{eqnarray} \lambda = 3,-1 \end{eqnarray} $$ \tag{1} $$ である (例2)。固有方程式の左辺を $$ f(\lambda) = \left| \begin{array}{cc} \lambda - 1 & -2 \\ -2 & \lambda - 1 \end{array} \right| $$ と置くと、 $f(\lambda)$ は $2$ 次多項式であり、 $A$ に対する固有多項式と呼ばれる。
$(1)$ から $f(\lambda)$ は \begin{eqnarray} f(\lambda) = (\lambda - 3)(\lambda + 1) \end{eqnarray} と因数分解されることが分かる。

例4: 固有ベクトルの導出

行列

の固有値 $\lambda$ は

である (例2を参考)。
固有ベクトルを

と表すことにすると、 $ \lambda = 3 $ の場合、 $ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $ は、

と表される。これより、

が成り立つ。これらから、

を得るので、固有ベクトルは、

$$ \tag{1} $$ である。
$ \lambda = -1 $ の場合、 $ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $ は、

と表される。これより、

が成り立つ。これらから、

を得るので、固有ベクトルは、

$$ \tag{2} $$ である。
このようにどちらの固有値であっても固有ベクトルには定数 $x_{1}$ の分の不定性が残る (固有ベクトルの不定性を参考)。したがって、 $x_{1}$ が ($0$ を除く) どんな値であっても $(1)$ と $(2)$ は、 $A$ の固有ベクトルである。

例5: 線形独立性

ベクトルは、

$$ \tag{1} $$ 行列

の固有ベクトルである (例3を参考)。これらに対して

$$ \tag{2} $$ が成り立つのは、

のみである。実際 $(1) (2)$ から、

であり、これらは連立一次方程式

であるので、$a_{1} = a_{3} = 0$ を得る。

例6: 2行2列の行列の固有値

2行2列の行列

の固有値を求めよ。

解答例
2行2列の行列

の固有値をそれぞれ $\lambda$ とする。固有方程式は

である。ここで $I$ は単位行列である。具体的に表すと、

である。これは、 2行2列の行列式であるので、

と表せる。整理すると、 $\lambda$ に関する2次方程式

となる。よって、 2次方程式の解の公式から

と固有値が得られる。

固有値の積は行列式

任意の正方行列 $A$ の行列式は、$A$ の固有値を全て掛けた積に等しい。すなわち、

が成立する。
ここで、$A$ は、$n$ 次正方行列であり、$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ は、その固有値である。

固有値の積が行列式の証明

固有値の和 = トレース

任意の $n$ 次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_{i} (i=1,2 \cdots, n)$ とするとき、 $A$ のトレースは、 $A$ の固有値の総和に等しい。すなわち、 \begin{eqnarray} \mathrm{Tr}[A] = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \end{eqnarray} が成り立つ。このことから、トレースを固有和と呼ぶこともある。

固有値の和 = トレース

対角化された行列の対角成分は固有値

$A$ を対角化可能な行列とするとき、すなわち、