3次元平面の様々な求め方、および役に立つ性質

最終更新 2018年 5月3日
平面の方程式、および符号付き距離
  任意の2点を結んだ直線が必ず1本のベクトル $\mathbf{n}$ と直交する集合を平面と呼ぶ。 平面上にある任意の点 $\mathbf{x}$ は、 $$ (\mathbf{n}, \mathbf{x}) = h $$ を満たす。 これを平面の方程式という。 また、$h$ を平面と原点との間の符号付き距離(signed distance)と呼ぶ。
3点を通る平面
  3点 $A, B, C$ を通る平面の方程式は、 $$ \Big( \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{b} \times \mathbf{c} +\mathbf{c} \times \mathbf{a} , \hspace{1mm} \mathbf{x} \Big) = \Big( \mathbf{a} \times \mathbf{b} , \hspace{1mm} \mathbf{c} \Big) $$ である。 ここで、$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ は、3点 $A$, $B$, $C$ の位置ベクトルであり、$\mathbf{x}$ は、平面上の任意の点である。
一点と直線を通る平面
  一点 $\mathbf{x}_{0}$ を通り、 方向ベクトルが $\mathbf{m}$ の直線 $$ \mathbf{x}_{0} + t \mathbf{m} $$ と、 一点 $\mathbf{u}$ を通る平面の方程式は、 $$ (\mathbf{m} \times (\mathbf{u}-\mathbf{x}_{0}), \hspace{0.5mm} \mathbf{u}) = ( \mathbf{x}_{0}\times\mathbf{m} , \hspace{0.5mm} \mathbf{u}) $$ と表される。
垂直二等分面とその性質
  位置ベクトルがそれぞれ $\mathbf{r}_{A}$ と $\mathbf{r}_{B}$ の点 $A,B$ の垂直二等分面の方程式は、
垂直二等分平面の求め方00
と表される。 ここで $\mathbf{r}$ は、 平面上の任意の点である。
点群にフィットする平面
  点群 $\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{m} \}$ に最もフィットする平面は、 法線ベクトルが 行列 $$ M=\sum_{i=1}^{m} (\mathbf{u}_{i}- \overline{\mathbf{u}}) (\mathbf{u}_{i}- \overline{\mathbf{u}})^{T} $$ の最小固有値を持つ固有ベクトルの方向を向き、 符号付き距離が、その法線ベクトルと点群の重心 $\overline{\mathbf{u}}$ との内積 $$ h = (\mathbf{n}, \overline{\mathbf{u}}) $$ になる平面である。
2平面の交線
  2つの平行でない平面 $P_{1}$ と $P_{2}$ の平面の方程式がそれぞれ \begin{eqnarray} (\mathbf{n}_{1}, \hspace{1mm} \mathbf{x}) &=& h_{1} \\ (\mathbf{n}_{2}, \hspace{1mm} \mathbf{x}) &=& h_{2} \end{eqnarray} であるとき、$P_{1}$ と $P_{2}$ の交線は、 $$ \frac{h_{1} - h_{2} (\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2})}{1- (\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2})^2} \mathbf{n}_{1} + \frac{-h_{1}(\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}) + h_{2} }{1- (\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2})^2} \mathbf{n}_{2} + t \hspace{1mm}(\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}) $$ と表される。 ここで $t$ はパラメータである。
平面と直線の交点
  平面 $$ (\mathbf{n}, \mathbf{x}) = h $$ と直線 $$ \mathbf{x}_{0} + t \mathbf{m} $$ の交点は、 $$ \mathbf{x}_{0} + \frac{h - (\mathbf{n}, \hspace{0.5mm}\mathbf{x}_{0})}{(\mathbf{n}, \hspace{0.5mm}\mathbf{m})} \mathbf{m} $$ である。 ここで、$\mathbf{n}$ と $h$ は、それぞれ平面の法線ベクトルと符号付き距離であり、 $\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点と方向ベクトルである。 また、$t$ は直線のパラメータである。
点と平面の距離
  法線ベクトルが $\mathbf{n}$ の平面 $$ (\mathbf{n}, \mathbf{x}) = h $$ と、点 $\mathbf{x}$ との間の距離 $d$ は、 $$ d = \left| (\mathbf{n}, \mathbf{x}) - h \right| $$ である。
平面上への投影点
  3次元空間内の座標 $\mathbf{u}$ の平面

平面上への射影00

上への投影点(垂線の足)の位置 $\mathbf{u}_{P}$ は、

平面上への射影01

である。 ここで、 $\mathbf{n}$ は、平面の法線ベクトルであり、 規格化されている($\| \mathbf{n} \| = 1$)。 また、 $h$ は、符号付き距離である。