直線上への投影点 ~ 垂線の足の座標値 ~
公式と証明
位置ベクトルが $\mathbf{x}_{0}$ である点 $X_{0}$ を通り、
方向ベクトルが $\mathbf{m}$ である直線を $L$ とする。
$L$ 上の任意の点は
と表される。ここで $t$ はパラメータであり、
$\mathbf{m}$ は
規格化されている ($\|\mathbf{m} \|=1$: $\|\cdot \|$ は
ノルムを表す記号)
とする。
このとき、任意の点 $X$ から
この直線に下した垂線の足
(投影点)
の位置ベクトル $\mathbf{p}$ は、
によって与えられる。ここで $\mathbf{x}$ は $X$ の位置ベクトルである。
以下に証明を示す。
証明
点 $X$ から直線 $L$ に下した垂線の足を $P$ とする。
$P$ の位置ベクトル $\mathbf{p}$ を
$\mathbf{p}$ は、
$$
\tag{1}
$$
と表す。ここで
$\mathbf{p}-\mathbf{x}_{0}$ は $X_{0}$ から $P$ に向かうベクトルであり、
直線 $L$ の方向ベクトル $\mathbf{m}$ と平行なベクトルである。
したがって、
$$
\tag{2}
$$
と表せる (下図参) 。
これと
$\| \mathbf{m} \| = 1$ であることから、
が成り立つ。
これより、
と表せるが、
右辺の $\mathbf{p}-\mathbf{x}$ は $\mathbf{m}$ と直交するので
(上図)、
である (
ベクトルの直交性を参考) 。
したがって、
である。
これと $(2)$ から
であるので、
$(1)$ に代入すると、
を得る。
例題
$3$ 次元空間の点
を通り、方向ベクトルが
を通る直線上に、点
から下した垂線の足の座標 $\mathbf{p}$ を求めよ。