点の直線上への投影点

  3次元空間の点 $\mathbf{x}$ の直線

点の直線上への投影点(垂線の足)00

上への投影点(垂線の足) $\mathbf{p}$ は、

点の直線上への投影点(垂線の足)01

である。
  ここで、$\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点と直線の方向ベクトルであり、 $\mathbf{m}$ の大きさを $1$ ($|\mathbf{m}|=1$) としている。 また、$t$ は直線のパラメータである。
最終更新 2016年 3月12日


    証明

  原点を $O$ とし、位置 $\mathbf{x}_{0}$ にある直線上の点を $X_{0}$ とする。 また、位置 $\mathbf{x}$ にある任意の点を $X$ とし、直線上への射影点(垂線の足)を $P$ とする。
点の直線上への投影点(垂線の足)00
$P$ の位置を $\mathbf{p}$ と表すと、

点の直線上への投影点(垂線の足)02
であり、

点の直線上への投影点(垂線の足)03
と表せる。
  $(2)$ の $\overrightarrow{X_{0}P}$ は、直線に沿ったベクトルであり、 $X_{0}$ から $X$ に向かうベクトル $\overrightarrow{X_{0}X}$ の直線上への射影である。 $\overrightarrow{X_{0}P}$ と直線の成す角を $\theta$ とすると、このベクトルは、長さが

点の直線上への投影点(垂線の足)04

で、方向が $\mathbf{m}$ のベクトルである。 すなわち、

点の直線上への投影点(垂線の足)05

である。 一方で、内積とコサインとの関係から、

点の直線上への投影点(垂線の足)06

が成立するので ($\| \mathbf{m}\|=1 $)、

点の直線上への投影点(垂線の足)07

と表せる。 よって、$(2)$ より、

点の直線上への投影点(垂線の足)08

である。 ここで、$(1)$ から

点の直線上への投影点(垂線の足)09

と表せるので、

点の直線上への投影点(垂線の足)09
を得る。








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