点と平面の距離

  法線ベクトルが $\mathbf{n}$ の平面

点と平面の距離の求め方00

と、点 $\mathbf{x}$ との間の距離 $d$ は、

点と平面の距離の求め方01
である。
最終更新 2016年 12月4日


    証明

  点と平面の間の距離 $d$ とは、点から平面に下した垂線の足(すなわち、射影点)とその点の間の距離である。 よって、 任意の点の位置 $\mathbf{x}$ とし、そこから平面 $P$ に下した垂線の足を $\mathbf{x}_{P}$ とすると、

点と平面の距離の求め方02

である。
  $\mathbf{x}$ は、 $\mathbf{x}_{P}$ から面の法線 $\mathbf{n}$ 方向に位置するので、

点と平面の距離の求め方03
と表せる(下図)。
点と平面の距離の図00
ここで $c$ は、定数であるが、$(1)$ と $(2)$ から

点と平面の距離の求め方04

が成立するので、 $c$ の絶対値が距離 $d$ である。
  再び $(2)$ を用いると、

点と平面の距離の求め方05
が成立するので、

点と平面の距離の求め方06

である。 $(3)$ と $(4)$ から、

点と平面の距離の求め方07

である。
  ところで、$\mathbf{x}_{P}$ は、平面 $P$ 上の点であるので、平面の方程式

点と平面の距離の求め方08
を満たす。 従って、$(5)$ から、

点と平面の距離の求め方08
を得る。








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