点と平面の距離を求める公式
点と平面の距離 (公式)
法線ベクトルが $\mathbf{n}$ であり、
符号付き距離が $h$ の平面
と、
点 $\mathbf{x}$ との間の距離 $D$ は、
である。
ここで $(\cdot, \cdot)$ は
標準内積を表す記号である。
また $\mathbf{n}$ は
規格化されている ($ \| \mathbf{n} \| = 1 $)
ものとする。
証明
点と平面の間の距離 $D$ とは、その点と平面上への投影点との間の距離である
(下図)。
よって、
点の位置を $\mathbf{x}$ とし、
平面 $P$ 上への投影点の位置を $\mathbf{x}_{P}$ とすると、
$$
\tag{1}
$$
と表される。ここで $\|\cdot \|$ はベクトルのノルムを表す記号である。
$\mathbf{x}$ は
$\mathbf{x}_{P}$ から面の法線 $\mathbf{n}$ 方向に位置するので、
$$
\tag{2}
$$
と表せる(上図)。
ここで $c$ は定数であるが、
$(1)$ と $(2)$ から
$$
\tag{3}
$$
であるので、
$c$ の絶対値が距離 $D$ に等しい。
再び $(2)$ を用いると、
が成立するので、
である。
これと
$(3)$ から、
$$
\tag{4}
$$
と表される。
ところで、$\mathbf{x}_{P}$ は平面 $P$ 上の点であるので、
平面の方程式
を満たす。
従って、
$(4)$ から、
を得る。
補足
規格化された法線ベクトル $\mathbf{n}$ と符号付き距離 $h$ がそれぞれ
と表されている場合、
点
と平面との距離は、
と表される。
点と平面の距離 (例題)
平面
と点 $(3,1,2)$ との距離が $2$ であることを公式を使って確かめよ。
解答例
図で表せばわかるように明らかに距離は $2$ であるが、
それを
公式を用いて確かめてみる。
平面 $x=1$ の
法線ベクトル $\mathbf{n}$
と
符号付距離 $h$ はそれぞれ
である。
したがって、
である。