平面と直線の交点

  平面

平面と直線の交点00
と直線

平面と直線の交点01
の交点は、

平面と直線の交点02

である。 ここで、$\mathbf{n}$ と $h$ は、それぞれ平面の法線ベクトルと符号付き距離であり、 $\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点と方向ベクトルである。 また、$t$ は直線のパラメータである。
最終更新 2016年 3月12日


    証明

  平面と直線の交点の位置を $\mathbf{x}$ とすると、 この点は、直線上にあり、なおかつ、平面上にある点である。
平面と直線の交点の図00
したがって、$\mathbf{x}$ は、

平面と直線の交点03

と表すことができ、なおかつ、

平面と直線の交点04

を満たす。 これらより、

平面と直線の交点05

が成立する。 よって、

平面と直線の交点06
と $t$ が求まる。
  これと (1) から交点の位置は、

平面と直線の交点07
である。


補足:
  $(2)$ を求めるときに、$(\mathbf{n}, \mathbf{m})\neq 0$ を仮定したが、 そうでない場合、すなわち、

平面と直線の交点08

の場合には、平面と直線は交差しない。 これは、平面の法線ベクトルと直線の向きが直交するならば、すなわち、平面と直線が平行であるならば、 平面と直線が交差しないことを表している。








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