平面と直線の交点の求め方

	目次
-	平面と直線の交点～公式と証明～
-	具体例

平面と直線の交点～公式と証明～

法線ベクトルが $\mathbf{n}$ で符号付き距離が $h$ の平面は

と表される。ここで $(\cdot, \cdot)$ は標準内積を表す記号である。
一方、位置 $\mathbf{x}_{0}$ が通り、 $ \mathbf{m}$ を方向ベクトルとする直線は

と表される。ここで $t$ は直線のパラメータである。

このとき、平面と直線の交点は

である。

証明
平面と直線の交点の位置を $\mathbf{x}$ とすると、この点は、直線上にあり、なおかつ、平面上にある点である。したがって、$\mathbf{x}$ は、

$$ \tag{1} $$ の両方の方程式を満たす。これらより、

が成り立つので、

$$ \tag{2} $$ と $t$ が求まる。これと $(1)$ から交点の位置は、

である。

補足:
$(2)$ を求めるときに、$(\mathbf{n}, \mathbf{m})\neq 0$ を仮定したが、そうでない場合、すなわち、 $$ (\mathbf{n}, \mathbf{m})= 0 $$ の場合には、平面と直線は交差しない。これは、平面の法線ベクトルと直線の向きが直交するならば、すなわち、平面と直線が平行であるならば、平面と直線が交差しないことを表している。

具体例

$(1)$ 点 (1,0,0) を通り、方向ベクトルが (0,0,1) の直線と平面 $z=1$ との交点を求めよ。