ベクトルの規格化
ベクトルの規格化
ベクトルの長さ (またはノルム) を
$1$ にすることをベクトルの規格化という。
ある任意のベクトル $\mathbf{v}$ を規格化したベクトル $ \tilde{\mathbf{v}}$ は、
N 次元ベクトル
任意の $n$ 次元の実ベクトル $\mathbf{v}$ が
のノルムが
である場合には、
$\mathbf{v}$ を規格化したベクトル $ \tilde{\mathbf{v}}$ は、
である。
$ \tilde{\mathbf{v}}$ の長さ
(ノルム)
は $1$ である。
すなわち、
を満たす。
任意の $n$ 次元の実ベクトル $\mathbf{v}$ が
例題: 2 次元と3 次元
次のベクトルを規格化せよ。
証明
ノルムの定義を用いて計算すると
であるので、
規格化されたベクトル
$ \tilde{\mathbf{v}}_{1} $
は、
である。
同じように、
であるので、
規格化されたベクトル
$ \tilde{\mathbf{v}}_{2} $
は、
である。
ノルムの定義を用いて計算すると
複素ベクトルの規格化
複素ベクトル
例題
次のベクトルを規格化せよ。
で計算できるので、
規格化されたベクトル
$ \tilde{\mathbf{u}}_{1} $
は、
である。
同じように
$\mathbf{u}_{2}$ のノルムは、
であるので、
規格化されたベクトル
$ \tilde{\mathbf{u}}_{2} $
は、
である。
次のベクトルを規格化せよ。
解答:
複素数の絶対値を用いると、
$\mathbf{u}_{1}$ のノルムは、
関数の規格化
区間 $[a,b]$ で定義されている実関数 $f(x)$ のノルムが
例題
区間 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ で定義される関数
を規格化せよ。
であるので、
規格化された関数
$ \tilde{f}(x) $
は、
である。
区間 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ で定義される関数
解答:
上のノルムの定義に従って計算すると、
$f(x)$ のノルムは、
状態ベクトル
量子力学における物理的状態を表す量子状態には、
状態ベクトル(または純粋状態)とよばれるベクトルで表される状態がある。
状態ベクトルはヒルベルト空間の規格化されたベクトルである。
有限次元の量子力学を対象とする場合、 ヒルベルト空間は内積が定義された複素ベクトル空間である。 したがって、状態ベクトルは規格化された複素ベクトルである。
これを踏まえて、 ブラケット記法を用いた二次元量子系を考える。 正規直交基底を
