外積の大切な 9 つの性質

最終更新 2018年 1月6日
目次
- 外積の定義
- 外積の線形性
- 外積の反対称性
- 同じベクトル同士は $0$
- 外積の直交性
- 外積の大きさ = 平行四辺形の面積
- 外積とレビ・チビタ
- ベクトル三重積
- ベクトル四重積
- 外積と内積が等しいとき
外積の定義
  $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、
と定義される。
外積の線形性
  ベクトルの外積は、積を成す両方のベクトルについて線形である。 すなわち、
が成り立つ。
  ここで $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ は定数である。
外積の反対称性 (交代性)
  外積を成す任意の二つのベクトルを入れ替えると、もとの積と符号だけ異なるベクトルになる。 すなわち、
が成り立つ。
同じベクトル同士の外積
  任意の同じベクトル同士の外積が $0$ になる。
外積の反対称性の結果である。
外積の直交性
  任意の $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方と直交する。 すなわち、
が成り立つ。
外積の大きさ = 平行四辺形の面積
  外積の大きさ(長さ)は、 外積を構成するベクトルが成す平行四辺形の面積に等しい。 すなわち、
外積の大きさは平行四辺形の面積
が成り立つ。
外積とレビ・チビタの記号
  $3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ は、 レビ・チビタの記号を使って、
と表せる。
ベクトル三重積
  ベクトル三重積は次の恒等式を満たす。
ベクトル三重積
これをラグランジュの公式 (Lagrange's formula) という。
ベクトル四重積
  ベクトル四重積は次の恒等式を満たす。
ベクトル四重積
外積と内積が等しいベクトル
  あるベクトルに対して、 内積と外積が等しくなる二つのベクトルは等しい。 すなわち、 ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対し、
を満たすベクトル $\mathbf{c} \hspace{1mm} (\neq 0)$ が存在するならば、
である。