スカラー三重積の定義と大切な性質
| 目次 | |
|---|---|
| - | スカラー三重積の定義 |
| - | 循環性 |
| - | 行列式に等しいこと |
| - | 平行六面体の体積 |
| - | 補足 |
定義
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と
$3$ 次元ベクトル同士の外積
$\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ の内積
成分で表示すると、
計算例:
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が
である場合
である。
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が
循環性
スカラー三重積には、
このような性質を循環性 (cyclic property) と呼ぶ。
行列式に等しい
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ のスカラー三重積は、
それぞれを列ベクトルに持つ行列式に等しい。
すなわち、
平行六面体の体積
スカラー三重積の絶対値は、
スカラー三重積を成す3つのベクトルによって構成される平行六面体の体積に等しい。
\begin{eqnarray}
&& |(\mathbf{c},\mathbf{a} \times \mathbf{b}) |
\\
&&
=\hspace{1mm} \mathbf{a}\hspace{1mm} \small と
\normalsize \hspace{1mm} \mathbf{b}\hspace{1mm} \smallと
\normalsize \hspace{1mm} \mathbf{c} \hspace{1mm}
\smallが成す平行六面体の体積
\end{eqnarray}
証明
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が成す平行六面体を $P$ とする。 $P$ の体積は
から求められる。
以下では、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を含む平面を $P$ の底面として選び、その底面積を $S$ と表し、 $P$ の高さを $h$ と表す (下図) 。
底面は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る平行四辺形を成す。 したがって、
である。
ここで平行四辺形の面積が外積の大きさに等しいことを用いた。
高さ $h$ は、 ベクトル $\mathbf{c}$ を底面の (規格化された) 法線ベクトル $\mathbf{n}$ 上に射影したベクトルの大きさに等しい。 したがって、
である。
法線ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方を直交するベクトルであるので、
これらの間の外積の方向を向く (外積の性質を参考)。
したがって、
である。
これより、
である。
以上から、
である。
したがって、
$P$ の体積は $P$ の各辺を成すベクトルのスカラー三重積の絶対値に等しい。
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が成す平行六面体を $P$ とする。 $P$ の体積は
以下では、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を含む平面を $P$ の底面として選び、その底面積を $S$ と表し、 $P$ の高さを $h$ と表す (下図) 。
底面は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る平行四辺形を成す。 したがって、
高さ $h$ は、 ベクトル $\mathbf{c}$ を底面の (規格化された) 法線ベクトル $\mathbf{n}$ 上に射影したベクトルの大きさに等しい。 したがって、
以上から、
補足:
スカラー三重積の絶対値は平行六面体の体積に等しいが、 絶対値がない場合には必ずしも等しくならない。
この場合、一般には負の値にもなりうる。 例えば、
の場合、
となる。
このようにスカラー三重積自体は負の値を取りうる。 このことからスカラー三重積を 符号付き体積または有向体積と呼ぶことがある。
スカラー三重積の絶対値は平行六面体の体積に等しいが、 絶対値がない場合には必ずしも等しくならない。
この場合、一般には負の値にもなりうる。 例えば、
このようにスカラー三重積自体は負の値を取りうる。 このことからスカラー三重積を 符号付き体積または有向体積と呼ぶことがある。