ベクトルの直交性とは

最終更新 2019年 2月 11日  
定義と例
- 直交性の定義
- 例 1

諸性質
- 直交 ⇒ 線形独立
ベクトルの直交性の定義
  $0$ でないベクトル $\mathbf{v}_{1}$ と $\mathbf{v}_{2}$ の内積が $0$ であるとき、 すなわち、 \begin{eqnarray} (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}) = 0 \end{eqnarray} であるとき、 $\mathbf{v}_{1}$ と $\mathbf{v}_{2}$ が直交するという
  同じように、 $0$ でない $n$ 個のベクトル $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $$ の内積が \begin{eqnarray} &&(\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}) = 0 \hspace{5mm} (i \neq j) \\ && (i,j=1,2, \cdots, n) \end{eqnarray} を満たすとき、互いに直交するベクトル、 または直交系を成すベクトルであるという。
具体例 1:
  二つのベクトル \begin{eqnarray} \mathbf{v}_{1} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right], \hspace{5mm} \mathbf{v}_{2} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right] \end{eqnarray} は、 \begin{eqnarray} (\mathbf{v}_{1}, \hspace{1mm} \mathbf{v}_{2}) &=& 1\times 1 + 1\times (-1) \\ &=& 0 \end{eqnarray} を満たすので直交する。
直交系は線形独立
  直交系を成す $n$ 個のベクトル \begin{eqnarray} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \end{eqnarray} は、 互いに線形独立なベクトルである。

証明
  $n$ 個のベクトル \begin{eqnarray} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \end{eqnarray} $$ \tag{1} $$ は直交系と成すので、 \begin{eqnarray} &&(\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}) = 0 \hspace{5mm} (i \neq j) \\ && (i,j=1,2, \cdots, n) \end{eqnarray} $$ \tag{2} $$ が成り立つ。 ここで $\alpha_{i}$ $(i=1,2,\cdots, n)$ が \begin{eqnarray} \alpha_{1} \mathbf{v}_{1} + \alpha_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \alpha_{d} \mathbf{v}_{d} = \mathbf{0} \end{eqnarray} $$ \tag{3} $$ を満たす係数であると仮定する。 このとき、 $(2)$ と $(3)$ より、 \begin{eqnarray} 0 &=& (\mathbf{0}, \mathbf{v}_{i}) \\ &=& (\alpha_{1} \mathbf{v}_{1} + \alpha_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \alpha_{d} \mathbf{v}_{d}, \hspace{1mm} \mathbf{v}_{i}) \\ &=& \alpha_{i} (\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i}) \end{eqnarray} であるが、$(1)$ が直交系を成すので、 $\mathbf{v}_{i} \neq 0$ であることから、 $$ (\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i}) \neq 0 $$ である (内積の定義を参考)。 ゆえに、 \begin{eqnarray} \alpha_{i} = 0 \hspace{5mm}(i=1,2,\cdots, n) \end{eqnarray} $$ \tag{4} $$ である。
  以上から $(3)$ を満たす係数 $\alpha_{i}$ が $(4)$ になるので、 直交系 $(1)$ は互いに線形独立なベクトルである。