極分解

  任意の実正方行列 $M$ は、直交行列 $U$ と半正定値行列 $P$ に分解することができる。 すなわち、

極分解

と分解できる。この分解を極分解 (polar decomposition) という。
  このように、右側に半正定値行列が来るように分解する場合を右極分解と呼ぶ。 一方で、下式のように半正定値行列が左側に来るように分解することもできる。すなわち、

極分解01

と分解できる。ここで $P'$ は半正定値行列である。これを左極分解と呼ぶ。
最終更新 2017 年 10月1日


  右極分解の証明

  行列 $M$ を $n$ 次実正方行列とすると、行列 $M^{T}M$ は、 転置行列の積の性質により、 $$ (M^{T} M)^{T} = M^{T} M $$ を満たすので、実対称行列である。 実対称行列は、正規行列の一種であるので、$M^{T} M$ は、正規行列である。
  一般に、 正規行列の固有ベクトルによって、 完全正規直交系を構成することができるので、そのように構成した $M^{T} M$ の固有ベクトルを $\{ \mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{2}, \cdots \mathbf{m}_{n} \}$ とすると、

極分解04

が成立する。 ここで、$\lambda_{i}$ は固有値であり、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタである。また、$i,j = 0,1,\cdots,n$ である。
  固有値 $\lambda_{i}$ は、$(1)$ により、

極分解05

と表されるが、右辺は、

極分解06

と表せるので、$0$ 以上である。ゆえに固有値 $\lambda_{i}$ は、 $0$ 以上である。
  そこで、固有値を正のものと、$0$ のものに分けて、



と表すことにする。 ここで $r$ は正の固有値の数を表す。
  このとき、$i=r+1,r+2,\cdots,n$ に対して、

極分解08

が成立するので、

極分解09
である。
  $\{\mathbf{m}_{i}\}$ が完全正規直交系をなすことから、単位行列 $I$ を

極分解10

と表すことができる(証明は単位行列を完全正規直交系で表すを参考)。これより、行列 $M$ は、

極分解11

と表せるが、$(2)$ によって、右辺の和の、$i=r+1$ 以降の項はすべてゼロになるので

極分解12

と書ける。
  また $i=1,2,\cdots, r$ に対して、ベクトル $\mathbf{u}_{i}$ を

極分解13

と定義すると、$(4)$ は、

極分解14

と表せる。
  $(1)$ により、$\mathbf{u}_{i}$ は

極分解15

を満たすので

極分解16

は、 正規直交系を成す。
  $(6)$ は、互いに直交するので、互いに線形独立なベクトルである。 従って、$(6)$ の線形結合は、$n$ 次元ベクトル空間の中の $r$ 次元の部分空間を構成する。 一般に、ベクトル空間には、部分空間の正規直交系を含む完全正規直交系が存在するので、 $(6)$ を含むように完全正規直交系を構成することができる。 すなわち、$(6)$ に $n-r$ 個のベクトル

極分解17

を加えて、完全正規直交系

極分解18

を構成することができる。
  $ i= r+1,\cdots,n $ に対して、 $ \lambda_{i} = 0 $ であることから、$(5)$ で表した行列 $M$ を、$(7)$ を用いて表すことができる。すなわち、

極分解17

と表すことが可能である。 ここで、右辺が $n$ までの和になっていることに注意する。
  また、$(1)$ によって、行列 $M$ は

極分解18
と表せる。
  ここで、行列 $U$ と $P$ を

極分解21
と定義すると、行列 $M$ は

極分解22

と分解されて表される。
  このように現れた行列 $P$ は、任意のベクトル $\mathbf{r}$ に対して、

極分解23

を満たすので、半正定値行列である。
  一方、行列 $U$ は、直交行列である。それは、次のように証明される。$U^{T}$ との積をとると、

極分解24

であるが、 $\mathbf{u}_{i}$ が完全正規直交系であるので、

極分解25

を満たすので、

極分解26

が成立する。この式の右辺は、$(3)$ により、単位行列であるので、

極分解27

と表せる。 これより、 $$ UU^{T} = I $$ が成立することを証明できる(証明は、直交行列は片側のみで定義可能を参考)。
  ゆえに、

極分解23

が成立するので、$U$ は直交行列である。
 
  以上より、任意の正方行列 $M$ は、直交行列 $U$ と半正定値行列 $P$ の積によって

極分解23

と分解できることが示された。

  左極分解の証明

  上の議論と $(8)$ から、行列 $M$ を

極分解24

と表せる。
  ここで、行列 $P'$ を

極分解25

と定義すると、行列 $M$ は

極分解26

と分解されて表される。
  ここで行列 $P'$ は、任意のベクトル $\mathbf{r}$ に対して、

極分解27

を満たすので、半正定値行列である。
  $U$ は直交行列であるので、次の結論を得る。すなわち、任意の正方行列 $M$ は、半正定値行列 $P'$ と 、直交行列 $U$ との積によって

極分解28

と分解できる。





特異値分解と極分解との対応関係






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