内積と転置行列の関係  

最終更新 2018年 2月 15日
  任意の $n$ 次実ベクトル
$n$ 次ベクトル
の内積を
標準内積
と定義するとき、任意の $n$ 次正方行列 $A$ は、
内積と転置行列の関係
を満たす。
  ここで、 $A^{T}$ は $A$ の転置行列である。

  証明

  $n$ 次正方行列 $A$ の各成分を
と表すとき、 $A$ とベクトル $\mathbf{y}$ の積は、
である。 よって、 ベクトル $A \mathbf{y}$ の各成分は、
と表される。
  このことから、 $n$ 次のベクトル $\mathbf{x}$ と $A\mathbf{y}$ との内積は、
と表される。
  ここで、 $A$ の転置行列を $A^{T}$ と表すと、 各成分に対し、
行列の転置
が成立するので、
と表される
  また、 $\sum_{i=1}^{n} A^{T}_{ji} x_{i}$ は、ベクトル $A^{T}\mathbf{x}$ の第 $j$ 成分である。 すなわち、
であるので、
が成立することが分かる。