単位行列を完全正規直交系で表す

  $n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ は、 任意の完全正規直交系

単位行列を完全正規直交系で表す00

によって、

単位行列を完全正規直交系で表す01
と表される。
最終更新 2016年 12月 23日


  証明:  

  $n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ とは、対角成分が $1$ で、 その他の成分が $0$ の $n$ 次正方行列である。

単位行列を完全正規直交系で表す02

基本ベクトル $\mathbf{e}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ を

単位行列を完全正規直交系で表す03

と定義すると、 これらは、

単位行列を完全正規直交系で表す04

を満たすため、 完全正規直交系を成し、 単位行列 $I$ は、

単位行列を完全正規直交系で表す05

と表される。
  ここで、任意の完全正規直交系 $\mathbf{u}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ によって、 行列 $R$ を

単位行列を完全正規直交系で表す06

と定義する。
  $\mathbf{u}_{i}$ は、完全正規直交系であるので、

単位行列を完全正規直交系で表す07

を満たし、 $(1)$ により、

単位行列を完全正規直交系で表す08

である。 直交行列は片方のみで定義できるので、 これより、

単位行列を完全正規直交系で表す09
も成り立つ。
  $(2)$ と $(3)$ より、
単位行列を完全正規直交系で表す10

が成立することから、$(1)(6)$ によって、

単位行列を完全正規直交系で表す11
が成立する。
  これと $(5)$ から、
単位行列を完全正規直交系で表す12

が成立するので、単位行列は、任意の完全正規直交系によって表される。









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