関連

  行列が対角化可能であるための必要十分条件

  $n$ 次元ベクトル空間 $V$ 上の $n$ 次正方行列を $A$ とする。 また、$A$ の固有値 $\lambda$ の固有空間を $E_{\lambda}$ と表す。 このとき、次の3つの条件は、互いに必要十分条件である。

行列が対角化可能であるための必要十分条件00



  証明のための準備

  $n$ 次正方行列 $A$ の固有ベクトルと固有値とは、

行列が対角化可能であるための必要十分条件00
を満たす

行列が対角化可能であるための必要十分条件01
のベクトル $\mathbf{a}$ と値 $\lambda$ である。 $(1)$ は、

行列が対角化可能であるための必要十分条件02
と表せる。
  $(3)$ は、 同次連立一次方程式であるため、 $(2)$ を満たす解を持つことと、 係数行列の行列式が $0$ であることが同値であることが知られている (証明は、同次連立一次方程式が自明な解以外の解を持つ場合を参考)。 よって、$(3)$ と

行列が対角化可能であるための必要十分条件03

は同値である。これを固有方程式という。
  $(4)$ は、固有値 $\lambda$ に関する $n$ 次方程式であるので、 代数学の基本定理によって、 $n$ 個の解が存在する。ここではそれらを

行列が対角化可能であるための必要十分条件04

と表す。ただし、 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ と並べられているものとする。
  解 $(5)$ の中には、値が等しいものがあってもよい。 そこで、$(5)$ の中の $m$ 個の値 $\lambda_{i}, \lambda_{i+1}, \lambda_{i+m}$ が等しいと仮定する。 すなわち、

行列が対角化可能であるための必要十分条件05

であるとする。このような $m$ を固有値 $\lambda_{i}$ の重複度という。
  固有値 $\lambda_{i}$ を持つベクトルの全体を $E_{\lambda_{i}}$ とする、すなわち、

行列が対角化可能であるための必要十分条件06

を満たすベクトル $\mathbf{a}_{i}$ の全体を $E_{\lambda_{i}}$ と表すと、 $E_{\lambda_{i}}$ は、部分空間を構成し、固有値 $\lambda_{i}$ の固有空間と呼ばれる。

  これらをもとにして、以下では、

行列が対角化可能であるための必要十分条件07

を証明することにより、3つの条件が互いに必要十分条件であることを明らかにする。


  $(\mathrm{S}1) \hspace{2mm} \Longrightarrow \hspace{2mm} (\mathrm{S}2)$ の証明  

  $(7)$ から

行列が対角化可能であるための必要十分条件08

が成立するが、これは同次連立一次方程式である。 よって、同次連立一次方程式 $(8)$ の解全体が構成するベクトル空間が固有空間 $E_{\lambda_{i}}$ である。
  一般に、$n$ 次正方行列 $B$ による同次連立一次方程式 $B \mathbf{x} = 0$ の解 $\mathbf{x}$ 全体が構成するベクトル空間(解空間)の次元は、 $n - \mathrm{rank}(B)$ である (証明は、解空間の次元を参考)。 このことから、 $E_{\lambda_{i}}$ の次元は、

行列が対角化可能であるための必要十分条件09

である。 ここで、$\mathrm{rank}(\cdot)$ は、行列のランクである。
  条件 $(\mathrm{S}1)$ により、 行列 $A$ が対角化可能であるので、

行列が対角化可能であるための必要十分条件10

を満たす正則行列 $P$ と対角行列 $\Lambda$ が存在するが、 正則行列を掛けてもランクが変わらないことから、 $(9)$ より、

行列が対角化可能であるための必要十分条件11
が成立する。よって、

行列が対角化可能であるための必要十分条件12
である。
  ここで、$\Lambda$ は、$A$ を対角化した行列であり、 対角化した行列の対角成分は、もとの行列の固有値に等しいことから、 $ \Lambda $ は、

行列が対角化可能であるための必要十分条件13

と表される。 一方で、 $ \lambda_{i}I$ は、

行列が対角化可能であるための必要十分条件14

であるので、$(6)$ に注意すると、

行列が対角化可能であるための必要十分条件15

である。よって、$\lambda_{i}I - \Lambda$ は、$m$ 個の対角成分が $0$ であり、 それ以外の成分は $0$ でない $n$ 次対角行列である。
  この形から、行列 $\lambda_{i}I - \Lambda $ のランクが

行列が対角化可能であるための必要十分条件16

であることが分かるが、より正確にそれを求めるためには、次のように考えるとよい。 すなわち、一般に行列のランクが簡約化した行列の主成分に等しいことから、 $\lambda_{i}I - \Lambda $ を簡約化し、主成分の数を数えれば、 それが行列 $\lambda_{i}I - \Lambda $ のランクである。実際に $\lambda_{i}I - \Lambda $ を簡約化すると、

行列が対角化可能であるための必要十分条件17

であり、主成分の数が $n-m$ であるから、$(11)$ が成立する。
  $(10)$ と $(11)$ から、

行列が対角化可能であるための必要十分条件18

を得る。よって、固有空間の次元は解の重複度に等しい $(\mathrm{S}2)$ 。


  $(\mathrm{S}2) \hspace{2mm} \Longrightarrow \hspace{2mm} (\mathrm{S}3)$ の証明  

  固有方程式 $(4)$ は、$n$ 次方程式であるので、 代数学の基本定理によって、 必ず $n$ 個の解

行列が対角化可能であるための必要十分条件19

を持つ。いま、この中に値の異なる解が $r$ 種類だけあるとし、 それらを

行列が対角化可能であるための必要十分条件20

と表す。また、 $(12)$ の中に $(13)$ のそれぞれが $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{r}$ 個ずつ含まれるとする。 すなわち、

行列が対角化可能であるための必要十分条件21

であるとする。 このとき、 $m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{r}$ の合計数は、 解の総数 $n$ に等しくなくてはならないので、

行列が対角化可能であるための必要十分条件22
が成立する。
  上の準備で述べたように、それぞれの $m_{i}$ は、解の $\overline{\lambda}_{i}$ の重複度である。 よって、$(\mathrm{S}2)$ を仮定すると、

行列が対角化可能であるための必要十分条件23

が成立する。 ここで、$\mathrm{dim} E_{\overline{\lambda}_{i}}$ は、固有空間 $E_{\overline{\lambda}_{i}}$ の次元である。
  これらより、

行列が対角化可能であるための必要十分条件24

である。 よって、固有値の異なる固有空間の次元の総和がベクトル空間 $V$ の次元 $n$ に等しい $(\mathrm{S}3)$ 。


  $(\mathrm{S}3) \hspace{2mm} \Longrightarrow \hspace{2mm} (\mathrm{S}1)$ の証明  

  $A$ の 固有値の中に異なるものが $r$ 種類だけあるとし、 それらを

行列が対角化可能であるための必要十分条件25

と表す。また、それぞれの固有空間を

行列が対角化可能であるための必要十分条件26

と表す。
  一般に、ベクトル空間の次元とは、その空間に含まれる線形独立なベクトルの最大数である。 よって、 各固有空間には、その固有空間の次元の数だけの線形独立なベクトルが存在する。 そこで、固有空間の $E_{\overline{\lambda}_{j}}$ $(j=1,2,\cdots, r)$ の次元を $d_{j}$ とすると、 この空間の中には、線形独立なベクトルが $d_{j}$ 個ある。それらを

行列が対角化可能であるための必要十分条件27

と表すと、仮定 $(\mathrm{S}3)$ により、固有空間の次元の総和が

行列が対角化可能であるための必要十分条件28

であるので、$(15)$ の $j$ に渡る総数は、$n$ 個である。すなわち、

行列が対角化可能であるための必要十分条件29

の総数は $n$ 個である。
  ところで、固有値の異なる固有ベクトルは線形独立であるので、 $(16)$ の異なる行にあるベクトルは、 互いに線形独立である ($\mathbf{p}^{j}_{k}$ と $\mathbf{p}^{j'}_{l}$ $(j\neq j')$ は、線形独立)。 もともと 同じ行にあるベクトル同士も線形独立であったので、次の結論を得る。すなわち、 $(16)$ のベクトルの全ては互いに線形独立であり、その総数は、$n$ 個である。
  $(16)$ の総数が $n$ であることから、これらを一つに並べて

行列が対角化可能であるための必要十分条件30

と表すことができる。 これは、$(16)$ のベクトルを並べ直しただけであるので、 それぞれの $\mathbf{p}_{i}$ は、互い線形独立であり、かつ、$A$ の固有ベクトルである。

行列が対角化可能であるための必要十分条件31

ここで、$\lambda_{i}$ は、固有値 $(14)$ のうちのどれかの値である。
  以上のことに注意して、 行列 $P$ を

行列が対角化可能であるための必要十分条件31

と定義し、$A$ を掛けると、

行列が対角化可能であるための必要十分条件33

が成立する。 ここで、対角行列 $\Lambda$ を

行列が対角化可能であるための必要十分条件34
と定義した。
  行列 $P$ を成す列ベクトルは、全て線形独立である。 一般に、 列ベクトルが互いに線形独立な行列には逆行列が存在するので、 $P$ には、逆行列 $P^{-1}$ が存在する。 これを $(17)$ の両辺に掛けることにより、

行列が対角化可能であるための必要十分条件35

を得る。 よって、行列 $A$ は対角化可能である $(\mathrm{S}1)$。







ページのトップへ戻る