同次連立一次方程式と自明な解

同次連立一次方程式と自明な解
  $n$ 個の変数
の連立一次方程式
$$ \tag{1} $$ において、行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ と $\mathbf{b}$ を
と表すと $(1)$ は
とまとめられる。 $A$ を係数行列という。 ここで $\mathbf{b} = 0$ の場合 すなわち、
$$ \tag{2} $$ の場合を同次連立一次方程式 (homogeneous linear equations) という。 $(2)$ は必ず
という解を持つ。この解を自明な解 (trivial solution) という。 $(2)$ が自明な解のみを持つのか、あるいはそれ以外の解を持つのかによって、 係数行列 $A$ の性質が異なる。以下では、そのうちの幾つかを紹介する。
自明な解 ⇔ 正則行列
  係数行列を $A$ とする同次連立一次方程式 $A\mathbf{x}=0$ の解が自明な解 $\mathbf{x}=0$ のみであることと、 $A$ が正則行列であることは互いに必要十分な条件である。 すなわち、
が成り立つ
証明
  はじめに
を示す。
  $n$ 次正方行列 $A$ の列ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ とすると、 $A$ は
と表わされる。また、 解 $\mathbf{x}$ を
と表すと、 「$A\mathbf{x}=0 \hspace{3mm} \Longrightarrow \hspace{3mm} \mathbf{x}=0 $ 」は、
と表される。 これは 列ベクトル $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ が互いに 線形独立であることを表している
  ところで、 一般に列ベクトルが互いに線形独立な行列を行基本変形によって簡約化した行列は、
の形になることが知られている (証明は「列ベクトルが線形独立な行列の簡約化」を参考)。 すなわち、 簡約化された行列は、 基本ベクトル
が順に並ぶ行列になる。 従って、 $A$ を簡約化した行列 $A^{r}$ は、 $A$ の列ベクトルが互いに線形独立であるため、 $n$ 個の基本ベクトルが順に並ぶ行列
$$ \tag{1} $$ になることが分かる。 ここで $I$ は $n \times n$ の単位行列である。
  以上を踏まえて、 $A$ を係数行列とする $n$ 次の連立一次方程式
に着目する。 ここで、 $\mathbf{u}$ は解であり、 $\mathbf{b}$ は任意の $n$ 次ベクトルである。 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ は $n$ 個の式から成る連立一次方程式であるが、 そのそれぞれを

  (a) 入れ替える
  (b) 定数倍する
  (c) 足し合わる

という操作を行ったとしたとしても解は変わらない。 また、 これらの操作は行うことは、 係数行列 $A$ を行基本変形させることに相当する。 すなわち、 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ に (a)(b)(c) の操作を実行した結果は、 その操作に対応する行基本変形を $A$ に対して行って得られる行列 $A'$ によって、
と表される。 ここで、 $\mathbf{b}'$ は $A$ から $A'$ が得られるときに実行した行基本変形を $\mathbf{b}$ に対して行って得られるベクトルである。 ところで、 簡約化された行列はもとの行列を行基本変形して得られるので、 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ に対して (a)(b)(c) の操作を $A$ が簡約化されるように組み合わせて行うと、 $A^{r}$ を係数行列とする連立一次方程式
が得られる。 ここで、 $\mathbf{b}^r$ は $A$ から $A^r$ が得られるときに実行した行基本変形を $\mathbf{b}$ に対して行って得られるベクトルである。 これと $(1)$ から
を得る。 すなわち、 連立一次方程式 $A \mathbf{u} = \mathbf{b}$ の解は $\mathbf{b}^{r}$ である。 $\mathbf{b}^{r}$ は $\mathbf{b}$ を行基本変形して得られるベクトルであるので、 $\mathbf{b}$ から唯一つだけ得られるベクトルである。 したがって、 連立一次方程式 $A \mathbf{u} = \mathbf{b}$ は、 唯一つの解を持つ。
  このことは $\mathbf{b} = \mathbf{e}_{i}$ の場合であっても成り立つので、 連立一次方程式
を満たす解 $\mathbf{u}_{i}$ は、 それぞれの $i$ に対して唯一つ存在する。 このような $\mathbf{u}_{i}$ によって、 $n$ 次正方行列 $U$ を
と定義すると、 $U$ は
を満たす。 これより
が成り立つので (証明は逆行列は片側のみで定義可能を参考)、 $U$ は $A$ の逆行列である。 このように $A$ には逆行列が存在するので、 $A$ は正則行列である。

を示す。
  $A$ が正則行列であるので、 $A$ には
を満たす $A^{-1}$ が存在する。 この $A$ を係数行列とする同次連立一次方程式 $ A \mathbf{x} = 0 $ の左辺に $A^{-1}$ を掛けると
であり、 右辺に掛けると、 $ A^{-1} 0 = 0 $ である。したがって、
である。 すなわち、 $A \mathbf{x} =0$ の解は自明な解 $\mathbf{x} = 0$ のみである。
 

係数行列の列が線形独立   ⇔   自明な解のみ
  係数行列を $A$ とする同次連立一次方程式
の解が自明な解 $\mathbf{x} = 0$ のみであることと、 $A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは同値である。 すなわち、
が成り立つ。
証明
  はじめに
を証明する。
  $A$ の列ベクトルを $\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \cdots, \mathbf{a_{n}}$ とし、
$$ \tag{1} $$ と表す。また $\mathbf{x}$ を成分によって
$$ \tag{2} $$ と表す。 このとき $A\mathbf{x}=0$ は、
と表される。 また、$\mathbf{x}=0$ とは、
のことである。 以上から、 $A\mathbf{x}=0$ の解が $\mathbf{x}=0$ のみであることは次のように表わされる。すなわち、
この関係は $A$ の列ベクトル $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ が線形独立であることの定義そのものである。


  次に
を示す。
  $A$ の列ベクトルを $(1)$ のように表し、ベクトル $\mathbf{x}$ を $(2)$ のように表す。 このとき、 $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ が線形独立であるので、
$$ \tag{3} $$ が成り立つ。 ここで $x_{1}\mathbf{a}_{1} + x_{2} \mathbf{a}_{2} + \cdots + x_{n} \mathbf{a}_{n} = 0$ は、行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ によって、
と表される。 また、$x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} = 0$ であるとは、
と表される。 ゆえに $(3)$ は
これは同次連立一次方程式 $A \mathbf{x} = 0$ の解が $\mathbf{x}=0$ のみであることを表している。

自明な解以外の解を持つ   ⇔   係数行列の行列式が 0
  同次連立一次方程式 $ A \mathbf{x} = 0 $ が自明な解以外の解 ($\mathbf{x}\neq 0$) を持つことと、 その係数行列 $A$ の行列式が $0$ であることは同値である。 すなわち、
が成立する。
証明と例
  行列 $A$ の行列式が $0$ でないことと、$A$ が正則行列であることは同値である。 すなわち
が成り立つ。
  また、 $A$ が正則行列であることと、 $A$ を係数行列とする同次連立一次方程式 $ A \mathbf{x} = 0 $ の解が自明な解 $x=0$ のみであることは同値である。 すなわち、
が成り立つ。
  ゆえに、 $A$ の行列式が $0$ でないことと、 $A$ を係数行列とする同次連立一次方程式 $ A \mathbf{x} = 0 $ の解が自明な解 $x=0$ のみであることは同値である。 すなわち
が成り立つ。
  この関係の対偶を考えると、
が成立することが分かる。
例1:   自明な解のみで、行列式が $0$ でない例
  同次連立一次方程式
$$ \tag{1} $$ の解は、直線 $2x-y = 0$ と直線 $x+y = 0$ の交点である。 両直線は、原点のみで交わる。すなわち解は
のみである。 行列 $A$ と ベクトル $\mathbf{x}$ を
と定義すると、上の連立方程式は、
と表されるが、解は $\mathbf{x}=0$ のみであり、
である。 このように $(1)$ は自明な解のみを持ち、行列式が $0$ ではない。
例2:   自明な解以外の解を持ち、行列式が 0 である例
  連立一次方程式
は、 二つの式が同一の直線
$$ \tag{2} $$ を表しているので、 この直線上の全ての点が解である。 ここで行列 $A'$ を
と定義すると、 上の連立一次方程式は、
と表されるが、 $A'$ の行列式は
であり、 直線 $(1)$ 上の全ての点が解であることから、 $\mathbf{x}=0$ ではない解が存在する。
補足: 対偶について
  上の議論で必要十分条件
$$ \tag{3} $$ の対偶が
であることを述べたが、 それは次のように考える。
  一般に 命題
が成立するならば、 命題
もまた成立する。 これを上の命題の対偶と呼ぶ。 (数学では必ずしも対偶が成立するわけではないが、 古典論理と呼ばれる通常用いられる論理体系の範囲では、 これが成り立つとされる (下のベン図を参考))。
これを踏まえて、
とする。 このとき、
である。 $(3)$ により
が成り立つので、 その対偶である
もまた成り立つ。 よって、
が成り立つ。
  一方で、 再び $(3)$ により
が成立するので、 その対偶である
もまた成り立つ。 よって、
が成立する。
  以上から
を得る。