ランクを計算する例題と解説

最終更新 2018年 7月28日

  以下の行列のランクを求めよ。
$(a)$
行列のランクを求める例題
$(b)$

  解説

以下に略解と要点、および解説付きの解答を記す。 なお、ランクの定義や一般的性質については、 「ランクの定義・性質」を参考。
略解
  行列のランクを求めるための見通しの良い方法は、 行列を簡約化し、 主成分の数を数えることである (「ランク=主成分の数」を参考)。 以下では、 その方針に従って解答する。
$(a)$
と置き、$A$ を以下のように簡約化する。
簡約化した結果、主成分が 2 つある行列になったので、 $A$ のランクは、2 である。
$(b)$
と置き、$B$ を以下のように簡約化する。
簡約化した結果、主成分が 3 つある行列になったので、 $B$ のランクは、3 である。
  上の計算を行う際の要点と解説を以下に記す。
ランクを計算するときの要点
  行列のランクを求めるための見通しの良い方法は、 行列を簡約化し、 主成分の数を数えることである。 行列の主成分とは、各行を左から順に見たときに、 最初に現れる 0 でない成分のことである。
この例では、 四角で囲った部分が主成分であり、主成分が 2つある。
  また、行列の簡約化とは、行基本変形によって、 次の4つのルールを満たす行列に変換することである。

 (1)  主成分が 1 である。
 (2)  主成分を持つ列ベクトルは、主成分を除く全ての成分が 0 である。
 (3)  主成分は、右側に行くほど下側にある。
 (4)  ゼロベクトルの行ベクトルは、 ゼロでない行ベクトルよりも下側にある。

これらのルールを確認しながら、 行基本変形を繰り返すと、 簡約化行列にたどり着くことができる。 基本変形の方針としては、 簡約化された行列が持つ次の性質に着目するのが良い。 すなわち、 簡約化された行列は、
「右に向かって一段ずつ主成分が下がってゆく階段状の行列」 $$\tag{*}$$
になる (例えば、次のような形の行列)。
このような行列へと変形するためには、 簡約化を 1 列目から順に進めて行くと考えやすい。 1 列目から順に主成分が 1 段ずつ下に現れるように行基本変形を進める。 これを繰り返すことが、行列を簡約化するための一つの指針である。

  以下は、この方針に従って行基本変形を進めた解説を付きの解答例である。
解説付きの解答
$(a)$
  はじめに、 1 列の簡約化を行う。 1 列は値が 1 の主成分を 1 行に持つ。 よって、ルール (1) が初めから守られている。 一方で、ルール (2) が守られるためには、 1列に含まれる主成分以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、1 行の 2 倍を 3 行から引くことにより、
と変形する。
  次に 2 列の簡約化を行う。 既に 1 行に主成分が現れているので、 次に主成分が現れるとすれば、 2 行目である (性質 $(*)$ )。 変換後の行列の 2 行目を見てみると、 2 列目に主成分 -1 であるので、 値が 1 になるように変形を行うと、 ルール (1)が守られる。 そこで、2 行に -1 を掛けることによって、
と変形する。 こうすると、 2 列の 2 行に値が 1 の主成分が現れるため、ルール(1) と (3) が守られる。 一方、ルール (2) が守られるためには、2 列のこれ以外の成分が 0 になるように変形しなくてはならない。 そこで、2 行の 2 倍を 1 行から引き、その後、2 行の -1 倍を 3 行から引く
こうすると、ルール (2) が守られる。 変形後の行列の左から 2 列までのみを見ると、 (1)-(4) の全てのルールが守られている。

  次に 3 列の簡約化を行う。左から 3 列までのみを見ると、既にルール (1)-(4) が守られているので、 3 列を変形する必要がないことが分かる。4 列についても同様である。
  以上より、$A$ を簡約化した行列は、
である。主成分が 2 つある行列になるので、 $A$ のランクは、2 である。
$(b)$
はじめに、 1 列の簡約化を行う。 1 列は 1 行の値が 2 であるので、値が 2 の主成分を持つ。 そこで、ルール (1) を守るために、 1 行を 1/2 倍 し
と変形する。
  1 列がルール (2) を守るためには、 1 行め以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、1 行の -3 倍を 2 行から引き、 その後、 1 行を 3 行から引く。すなわち、
と変形する。
  次に 2 列の簡約化を行う。 左から 2 列までのみを見ると、既にルール (1)-(4) が守られていることが分かるので、 これ以上の変形する必要はない。
  したがって、 3 列の簡約化に進む。 既に 1 行に主成分が現れているので、 次に主成分が現れるとすれば、 2 行目である(性質 $(*)$ )。 そこで 2 行目を見てみると、3 列目に主成分 3 があるので、 この値が 1 になるように変形を行い、ルール (1) が守られるようにする。 すなわち、2 行に 1/3 を掛けることにより、
と変形する。
  こうすると、 3 列の 2 行に値が 1 の主成分が現れるため、 ルール (1) と (3) が守られる。 一方で、ルール (2) を守るためには、 3 列の主成分以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、 2 行の -1 倍を 1 行から引き、 その後、 2 行の 5 倍を 3 行から引く。 すなわち、
と変形する。
  次に 4 列の簡約化を行う。 既に 2 行に主成分が現れているので、 次に主成分が現れるとすれば、 3 行目である(性質 $(*)$ )。 そこで 3 行目を見てみると、4 列目に主成分 -5 があるので、 値が 1 になるように変形を行い、ルール (1)が守られるようにする。 すなわち、3 行に -1/5 を掛けることにより、
と変形する。
  一方で、ルール (2) を守るためには、 4 列の主成分以外の成分の値を 0 にしなくてはならない。 そこで、 3 行の 2 倍を 1 行から引き、 その後、 3 行を 2 行から引く。すなわち、
と変形する。
  以上より、$B$ を簡約化した行列は、
である。主成分が 3 つある行列になるので、 $B$ のランクは、3 である。