解が存在するための必要十分条件

  連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質00

が解を持つための必要十分条件は、係数行列 $A$ と拡大係数行列 $ \left[A \hspace{1mm} \mathbf{b} \right] $ のランクが等しいことである。すなわち、

連立一次方程式が解を持つための必要十分条件01

が成立する。
  この定理をルーシェ・カペリの定理 (Rouche-Capelli theorem) という。

解を持つための必要十分条件の証明はこちら


  解が唯一つであるための必要十分条件

  列の数が $n$ である行列 $A$ を係数行列に持つ連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質00

の解が唯一つであるための必要十分条件は、 $A$ のランクが $A$ の列の数に等しいことである。 すなわち、

連立一次方程式の解が唯一つであるための必要十分条件01
が成立することである。

解が唯一つであるための必要十分条件の証明はこちら


  同次連立一次方程式の解空間の次元

  列の数が $n$ である行列 $A$ を係数行列に持つ同次連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質03

の解空間の次元は、行列の列の数と階数の差である。すなわち、

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質04
である。

解空間の次元の証明はこちら


  列ベクトルが線形独立 $\Longleftrightarrow$ 自明な解のみ

  同次連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質03

の解が自明な解 $\mathbf{x} = 0$ のみであることと、$A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは同値である。 すなわち、

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質04

が成立する。

列ベクトルが線形独立 $\Longleftrightarrow$ 自明な解のみの証明はこちら


  解が唯一つ $\Longleftrightarrow$ 正則行列

  係数行列 $A$ が正方行列であるとき、連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質00

が唯一つの解を持つことと、 $A$ が正則行列であることは同値である。 すなわち、

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質06

が成立する。

解が唯一つ $\Longleftrightarrow$ 正則行列の証明はこちら


  自明な解以外のを持つ $\Longleftrightarrow$ 行列式が 0

  係数行列 $A$ が正方行列である同次連立一次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質03

が自明でない解 $\mathbf{x} \neq 0$ を持つことと、 $A$ の行列式が $0$ であることは、同値である。 すなわち、

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質07

が成立する。

自明な解以外のを持つ $\Longleftrightarrow$ 行列式が 0 の証明はこちら


  クラメルの公式

  係数行列 $A$ が正方行列である連立1次方程式

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質08

の解は、

連立一次方程式を扱う上で役に立つ一般的性質09

によって与えられる。 ここで、$x_{k}$ は、$\mathbf{x}$ の第 $k$ 番目の成分である。 また、$\mathbf{a}_{i}$ は、行列 $A$ の $i$ 番目の列ベクトルであり、 $|A|\neq 0$ とする。
  この公式は、クラメルの公式(Cramer's rule)と呼ばれる。

クラメルの公式の証明はこちら




掃き出し法で解く例題





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