フーリエ級数・フーリエ展開とは?  

本ページでは、理工学全般でよく現れる フーリエ係数・ フーリエ級数・ フーリエ級数展開について、初学者でも分かるような丁寧な証明をつけて論じられています。

三角級数
  三角関数
三角級数
と定数から成る関数項級数
三角級数 (trigonometric series) という。 (ここで $\frac{a_{0}}{2} $ における $\frac{1}{2}$ は後の議論での便宜上つけられている。)
直交性
  定数 $1$ を含む三角関数列
は、互いに直交する。すなわち、
三角関数の直交性
が成り立つ。
証明
  $\cos$ は偶関数であるので、
$\sin ( \pm n \pi) = 0$ であるので、
積和の公式を用いると、 $m=n$ の場合、
同様に $m \neq n$ の場合、
$m=n$ の場合、
$m \neq n$ の場合、
$m = n$ の場合
$m\neq n$ の場合

フーリエ係数
  区間 $[-\pi, \hspace{0.5mm} \pi]$ で積分可能な関数 $f(x)$ と三角関数列
によって、定義される次の係数
フーリエ係数
フーリエ係数という。
フーリエ級数
  フーリエ係数を各係数に持つ三角級数
フーリエ級数
フーリエ級数という。
  以下に記されるように、ある条件の下ではフーリエ級数が $f(x)$ に等しくなる。
関数の周期的拡張
  区間 $[a,b]$ 上で定義されている関数 $f(x)$ の $[a,b)$ の範囲だけに着目し ($x=b$ の場合を使わずに)、
を満たすように実数全体に拡張した関数を $\tilde{f}$ とする。 $\tilde{f}$ を $f$ の周期的拡張と呼ぶ。$\tilde{f}$ は周期 $T$ の周期関数になる。 以下の例が分かり易い。
具体例
  区間 $[-\pi, \pi]$ 上で定義されている関数
の周期的拡張 $\tilde{f}$ とは、 $[-\pi, \pi)$ の範囲に着目し、
を満たすように拡張された関数である(下図)。
関数の周期的拡張の例
$\tilde{f}$ は周期 $2\pi$ の周期関数である。

ベッセルの不等式
  区間 $[-\pi,\pi]$ で 積分可能な関数 $f(x)$ から作られたフーリエ級数
とするとき、
フーリエ級数におけるベッセルの不等式
が成り立つ。 これを (フーリエ級数における) ベッセルの不等式という。
証明
  適当な係数 $\xi_{k}, \hspace{1mm} \chi_{k}$ と $1$ 以上の任意の自然数 $n$ を用いて
$$ \tag{1} $$ を定義し、
$$ \tag{2} $$ を考える (不等号が成り立つのは(正の積分の性質を参考 )。 左辺を展開すると、
$$ \tag{3} $$ 右辺の2つ目の積分は、
である。ここで $a_{k}, b_{k}$ はフーリエ係数である。 $(3)$ の 3つ目の積分は、
である。 最後の等号では 三角関数の直交性を用いた。 以上を $(3)$ に代入すると、
$$ \tag{4} $$ が成り立つ。 よって、 $(2)$ より、
が成り立つので、
$$ \tag{5} $$ である。 これより $n$ について数列
$$ \tag{6} $$ は上に有界な単調増加数列であるので収束する (実数の連続性公理)。 すなわち、数列 $(5)$ は極限値を持ち、その極限値
は、 $(5)$ から
を満たす。


補足
  $(4)$ から分かるように、積分
が最小になるのは、適当においた係数 $\xi_{k}, \hspace{1mm} \chi_{k}$ が
を満たすときである。

リーマン・ルベーグの定理
  区間 $[-\pi,\pi]$ で 積分可能な関数 $f(x)$ によるフーリエ係数には、
リーマン・ルベーグの定理
が成り立つ。これをリーマン・ルベーグの定理という。
証明
  $f(x)$ は 区間 $[-\pi,\pi]$ で 積分可能な関数なので、 ベッセルの不等式
が成り立つ。よって、
は、上に有界な単調増加数列であるので収束する。このことから
が成り立つ (「級数が収束 ⇒ 数列は 0 に収束」を参考)。 数列の極限の基本的な性質を用いると、
と表されるが、 $ a_{n}^{2} \geq 0$ かつ $b_{n}^2 \geq 0$ であることから、
である。数列の極限の基本的な性質を用いると、
であるので、
を得る。

フェイエールの定理
  フーリエ級数の部分和を
とする。また、$s_{n}$ の平均を
とする。このとき、 $f$ が区間 $[-\pi, \pi]$ で連続で周期 $2\pi$ の周期関数であるならば、 $n \rightarrow \infty$ の極限で
が成り立つ。 これをフェイエールの定理 (fejer theorem) という。
証明
  $s_{n}$ がフーリエ級数の部分和であるので、
である。 これらを $s_{n}$ に代入すると、 ディリクレ核 $D_{n-1}$ を用いて、
と表せる (証明は「ディリクレ核のフーリエ級数との関係」を参考)。 $y-x=t$ と置くと、
と表せる。 上記は区間の幅(大きさ)が $2\pi$ の積分である。 一方、$f$ が周期 $2\pi$ の関数であり、 ディリクレ核もまた周期 $2\pi$ の関数であるので、 被積分関数は周期 $2\pi$ の関数である。 したがって、 被積分関数の周期と積分区間の幅が等しい。 このような場合には、 積分範囲を平行移動させても積分の値が変わらないので、
と表せる。ここで、ディリクレ核の指数関数による表現から
と表せるが、 最後に現れた二つの総和が等比数列の和であることから、
と表せる。4個目の等号では三角関数の定義 (またはオイラーの公式)を用いた。これより、
であるので、$S_{n}$ を
と表せる。最後の等号では半角の公式を用いた。
  $f(x)=1$ の場合を考えると、
である一方、
であることから、
であり、
である。以上から、
$$ \tag{1} $$ が成り立つ。これより、
が成り立つので、
$$ \tag{2} $$ を得る。
  $f$ は閉区間 $[-\pi,\pi]$ で連続であるため、 この区間で一様連続である (「閉区間で連続 ⇒ 一様連続」を参考)。 なおかつ、$f$ は周期 $2 \pi$ の周期関数であるので、 隣の区間 $[\pi, 2\pi]$ でも一様連続であり、結果として 区間 $[-\pi, 2\pi]$ で一様連続である。 このように区間を広げてゆけば、 $f$ は任意の閉区間 $I$ 内で一様連続であることが分かる。 よって、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 $y,x \in I $ であり、なおかつ
を満たす全ての $y,x$ に対して
を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する。 この $\delta$ よりも小さい $\delta$ を選んだとしても同様の関係が成り立つので、 今後は $\delta$ が十分に小さい値であるとする。
  $y=x+t$ と置くと次のように書き直せる。すなわち、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 $x+t,x \in I $ であり、
を満たす全ての $t$ に対して
$$ \tag{3} $$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する。
  $\delta$ を用いて 積分 $(2)$ を3つに分ける。
三角不等式より、
$$ \tag{4} $$ が成り立つ。
  $(4)$ の右辺の第一項の積分に注目すると
が成り立つ。ここで 一つ目の不等号では絶対値の積分の性質、 最後の不等号では三角不等式大小関係のある積分の性質 を用いた。 $f(x)$ は閉区間上での連続関数であるので、最大値を持つ (「連続関数の最大値・最小値の定理」を参考)。 これを $M$ と表すと
が成り立つ。最後の行では $ \big( \sin \frac{nt}{2} \big)^2 \leq 1 $ を用いた。また、$\delta$ が十分に小さい値であるので、 $ t \in [-\pi, -\delta]$ において
が成り立つので (下図参考)、
以下の関係が成り立つ。
$$ \tag{5} $$ が成り立つ。
  続いて $(4)$ の右辺の第二項の積分に注目すると、 $(3)$ から
$$ \tag{6} $$ が成り立つ。この式の最後の積分について積分の基本的な性質から
であり、被積分関数が $0$ 以上の値であるので、 右辺の第二項と第三項は $0$ 以上である (「被積分関数が正の積分」を参考)。 すなわち、
であるので、
が成り立つ。 よって、$(6)$ と $(1)$ から
$$ \tag{7} $$ が成り立つ。
  続いて $(4)$ の右辺の第三項の積分に注目すると、 第一項について $(5)$ を与えたときと同様の議論により、
$$ \tag{8} $$ が成り立つ。 以上 $(4)(5)(7)(8)$ より、
が成り立つ。第二項について、 $n$ が十分に大きな場合には、
が成り立つので、そのような $n$ に対しては、
$$ \tag{9} $$ が成り立つ。 $\epsilon$ が任意の正の数であるから、$2\epsilon$ もまた任意の正の数である。 ゆえに、その任意の正の数について $(9)$ を成り立たせる自然数 $n$ が存在する。 よって、
である。

パーセバルの等式 (完備性)
  周期 $2\pi$ の連続関数 $f(x)$ によって定義されるフーリエ係数 $a_{0}, a_{k}, b_{k}$ $(k=1,2,\cdots)$ によって
$$ \tag{1} $$ を定義すると、
が成り立つ。ここから、
パーセバルの等式
が導かれる。 これをパーセバルの等式といい、三角関数列完備であるともいう。
証明
  $s_{i}(x)$ $(i=1,2,\cdots)$ の平均を
と定義すると、 $(1)$ より
であるが、
と置くと、
$$ \tag{2} $$ と表すことができる。 これを用いて、
$$ \tag{3} $$ を考察する。 $(2)$ がベッセル不等式導出の $(1)$ 式 と同じ表現であることから分かるように、 ベッセル不等式導出の $(4)$ 式の導出の議論をそのまま適用することによって、
$$ \tag{4} $$ を得る。続いて、
$$ \tag{5} $$ を考察する。 $(1)$ と $(2)$ を比較すれば分かるように、 $S_{n}(x)$ と $s_{n}(x)$ は係数のみが異なる。 したがって、
と置き換えて、 $(4)$ の議論をそのまま適用することによって、
$$ \tag{6} $$ を得る。 $(4)$ と $(6)$ により、
である。ゆえに
$$ \tag{7} $$ が成り立つ。 $(7)$ の左辺は フェイエールの定理から
$$ \tag{8} $$ である。 一方、積分の性質から $(7)$ の右辺は $0$ 以上である。すなわち、
$$ \tag{9} $$ である。以上 $(7)(8)(9)$ からはさみうちの定理により、
を得る。 これと $(6)$ からパーセバルの等式
を得る。

フーリエ級数の一様収束性
  関数 $f(x)$ が区間 $[-\pi, \pi]$ において$\mathrm{C}^{1}$ 級関数で、 周期 $2\pi$ の周期関数であるならば、 $f(x)$ のフーリエ級数
フーリエ級数
$$ \tag{1} $$ は一様収束する。
証明
  $(1)$ は $f(x)$ のフーリエ級数なので、 各係数は、
である。 $f(x)$ は $\mathrm{C}^{1}$ 級関数なので、 $f(x)$ は微分可能であり、$f'(x)$ は連続関数である。 $\cos nx$ と $\sin nx$ も微分可能で、$(\cos nx)'$ と $(\sin nx)'$ が連続な関数である。 よって、 上記の被積分関数
は、微分可能でその微分が連続な関数である (「積の微分」 「積の連続性」を参考)。 よって、部分積分によって、
と表せる。最後の等号では、 $f(x)$ が周期 $2 \pi$ の周期関数であるため、 $f(\pi) = f(-\pi)$ であることを用いた。 ここで $f'(x)$ のフーリエ級数を $ \tilde{a}_{n} $ と $\tilde{b}_{n}$ とする。 すなわち、
とする。これを用いると、 $a_{n}$ と $b_{n}$ は
と表される。右辺の絶対値には、
が成り立つ。これらはそれぞれ不等式
を式変形すれば得られる。 以上を用いると、 $(1)$ の各項に対して、
が成り立つことが分かる。これは、 数列
$$ \tag{2} $$ の各項がフーリエ級数 $(1)$ の各項の絶対値以上の値を持つことを示している。 そこで、 数列 $(2)$ から成る級数
$$ \tag{3} $$ を考えると、まず級数
は収束する (「バーゼル問題」を参考)。 また、$ \tilde{a}_{n}$ と $\tilde{b}_{n}$ が $f'(x)$ の フーリエ係数 であることからベッセルの不等式により、
もまた収束する (ベッセルの不等式の証明の $(6)$ 式付近で級数の収束性が証明されている)。 よって、数列 $(3)$ は収束する。
  以上まとめると、 フーリエ級数 $(1)$ には、 各項の絶対値以上の値を持つ数列 $(2)$ があり、 その数列から成る級数 $(3)$ は収束する。 ゆえに、フーリエ級数は一様収束する (「関数項級数 ≦ 収束する級数 ⇒ 一様収束」を参考)。

フーリエ級数展開
  関数 $f(x)$ が区間 $[−\pi,\pi]$ において $\mathrm{C}^{1}$ 級関数で、 周期 $2\pi$ の周期関数であるならば、 $f(x)$ のフーリエ級数は $f(x)$ に一様収束する。 その意味で
フーリエ級数展開
と表せる。ここで $a_{n}, b_{n}$ はフーリエ係数である。 これを $f(x)$ のフーリエ級数展開という。
証明
  $f(x)$ は周期 $2 \pi$ の連続関数であるから、 パーシバルの等式 (完備性)が成り立つ。 すなわち、
$$ \tag{1} $$ が成り立つ。
  フーリエ級数は一様収束するので、項別積分できる。 このことと、三角関数列の直交性により、
$$ \tag{2} $$ が成り立つ。これらとフーリエ係数の定義から、
$$ \tag{3} $$ が成り立つ。 $(3)$ から
が成り立つ。 また、パーシバルの等式 $(1)$ とフーリエ係数の定義から、
である。以上から、
が成り立つ。 これと積分の性質から
である。 $f(x)$ は、(一様収束する) $f(x)$ のフーリエ級数に等しい。 すなわち、 $f(x)$ はフーリエ級数展開可能である。

周期 2L の場合
  関数 $f(x)$ が区間 $[−L,L]$ において $\mathrm{C}^{1}$級関数で、 周期 $2L$ の周期関数であるならば、 $f(x)$ は
フーリエ級数展開可能である。 ここで $a_{n}, b_{n}$ はフーリエ係数
である。
証明
  はじめに
$$ \tag{1} $$ と置くと、$g(t)$ もまた $\mathrm{C}^{1}$級関数であり (証明略)、 $f(x)$ が周期 $2L$ の周期関数であるから、
が成り立つので、$g(t)$ は周期 $2\pi$ の関数である。 よって、$g(t)$ は
フーリエ級数展開可能であり、
である。ここで
と置くと、
と表され、
$$ \tag{2} $$ である。 $(1)$ より、
であるから、次の結論を得る。 すなわち、 関数 $f(x)$ が区間 $[−L,L]$ において $\mathrm{C}^{1}$ 級関数で、 周期 $2L$ の周期関数であるならば、 $f(x)$ は
フーリエ級数展開可能であり、 各係数は $(2)$ である。

周期的拡張関数の各点収束性
  $[-\pi, \pi]$ 上で積分可能な関数を $f$ とし、 $f$ のフーリエ係数を $a_{n}, b_{n}$ とする。 また、 $f$ の周期的拡張 (周期は $2\pi$ ) を同じ記号の $f$ で表す。 上記の例から分かるように、 $f$ は不連続点を持ちうるが、 $f$ の不連続点は第一種不連続点のみであるとする。 このとき、 $f$ の左微分係数と右微分係数が存在する (有限な値である) ならば、次の関係が成り立つ。
不連続点を含むフーリエ級数展開
$$ \tag{1} $$ ここで、 $a_{n}$ と $b_{n}$ はフーリエ係数であり、 $f(x+0)$ と $f(x-0)$ はそれぞれ $f(x)$ の $x=0$ における 左極限と右極限である。 また、等号は右辺の極限が左辺に各点収束することを表している。
証明
  はじめに区間 $[-\pi,\pi]$ の範囲の一点 $x$ に着目し、
と置く。 $s_{n}(x)$ はディリクレ核 $D_{n}$ を用いて
と表せる (証明は「ディリクレ核のフーリエ級数との関係」を参考)。 $y-x = t$ と置くと、
$$ \tag{2} $$ であるが、 ディリクレ核が周期 $2\pi$ の周期関数であり、 $f$ もまた周期 $2\pi$ の周期関数の関数であるから、 $(2)$ の被積分関数は周期関数である。したがって、 周期関数の積分の性質から、
$$ \tag{3} $$ が成り立つ (下の補足参考)。 これより、
$$ \tag{4} $$ と表せるが、 ディリクレ核の積分
であり、 ディリクレ核が偶関数であることを用いると、 偶関数の積分の性質から
である。 これを $(4)$ に用いると、
$$ \tag{5} $$ と表せる。 ここで、 ディリクレ核加法定理によって、
と表し、 $(5)$ に代入して整理すると、
$$ \tag{6} $$ と表せる。 $(6)$ の前半の二つの積分は、
$$ \tag{7} $$ と関数 $f_{1}$ を定義すると、
$$ \tag{8} $$ とまとめて表せる。 ここで、$f_{1}(t)$ には $t=0$ に不連続点があるが、 一点の有界な不連続点の存在は積分値を変化させないので (「不連続点を持つ有界な関数 ⇒ 積分可能」を参考)、 $(8)$ のようにまとめられる。 同じように、
$$ \tag{9} $$ と置くと、$(6)$ の後半の二つの積分は、
$$ \tag{10} $$ とまとめられる。 以上 $(6)$ $(8)$ $(10)$ より、
$$ \tag{11} $$ と表せる。 $(11)$ の第二項の積分は、 $f_{2}(t)$ のフーリエ係数と見なすことができ、 $(9)$ から分かるように、 被積分関数が不連続点を一つだけ持つ有界な関数であるため積分可能である (「不連続点を持つ有界な関数 ⇒ 積分可能」)。 よって、 リーマン・ルベーグの定理により、
$$ \tag{12} $$ が成り立つ。 続いて $(11)$ の第一項の積分は、 $f_{1}(t)$ のフーリエ係数と見なすことができるが、 $(7)$ を見ると分かるように、 $f_{1}$ の
の部分が $t\rightarrow 0$ で $\infty$ になるので、 $f_{1}$ が有界な関数にならないように見える。 しかしながら、$f_{1}$ を
と書き直してみると、 よく知られているように、
であり、 $f$ の左微分係数が存在するという仮定から、
が存在し (有限な値であり)、 $f$ の右微分係数が存在するという仮定から、
が存在する(有限な値である)。 したがって、
が存在するため、 $f_{1}(t)$ は $[-\pi, \pi]$ の範囲で有界な関数である。 ゆえに、 $(11)$ の右辺の第一項は、 被積分関数が不連続点を一つだけ持つ有界な関数であるため積分可能である (「不連続点を持つ有界な関数 ⇒ 積分可能」)。 よって、 リーマン・ルベーグの定理により、
$$ \tag{13} $$ である。 以上の $(11)$ と $(12)$ と $(13)$ から
を得る。これを書き直すと $(1)$ になる。


補足:
  $[-\pi, \pi]$ の範囲の関数を周期的拡張したので、 一般には $x=-\pi$ と $x=\pi$ で $f(x)$ が不連続になるが、 周期的拡張の特徴として、 $f(-\pi)$ が存在し (有限の値であり)、 $f(\pi) = f(-\pi)$ であるので、 $f(\pi)$ も有限な値である。 よって、$f(x)$ は有界な関数であるので積分可能である (「不連続点で有界 ⇒ 積分可能」を参考)。 ゆえに、 $(2)$ の右辺の積分は存在する。
  また、 「不連続点を持つ有界な関数 ⇒ 積分可能」 の証明を見ても分かるように、 積分値に対する不連続点からの寄与は $0$ である (いくらでも $0$ に近づけられる)。