はさみうちの定理の証明

はさみうちの定理 (数列)

数列 $\{ a_{n} \}$ と $\{ b_{n} \}$ と $\{ c_{n} \}$ が全ての $n = 1,2,\cdots$ において

を満たし

であるならば、

が成り立つ。
これをはさみうちの定理 (はさみうちの原理) という。
数列の各 $n$ に対して、

が成り立つ場合に、 $a_{n}$ と $b_{n}$ が同じ値に収束する数列であるならば、間に挟まっている $b_{n}$ もまた同じ値に収束するというのがはさみうちの定理の主張である。

証明
数列 $a_{n}$ の極限が

であることを $\epsilon-\delta$ 論法で表すと次のようになる。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある整数 $N_{a}$ が存在し、$n>N_{a}$ を満たす全ての整数 $n$ に対して、

が成り立つ。
同じように、数列 $c_{n}$ の極限が

であることを $\epsilon-\delta$ 論法で表すと次のようになる。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある整数 $N_{c}$ が存在し、$n>N_{c}$ を満たす全ての整数 $n$ に対して、

が成り立つ。
このとき整数 $N$ を

($N_{a}$ と $N_{c}$ の大きい方) と定義すると、

であることと、 $(1)$ と $(2)$ から $n>N$ であるならば、

が成り立つ。
したがって、任意の $\epsilon > 0$ に対して、 $n>N$ を満たす全ての $n$ に対して

が成り立つ $N$ が存在することが示されたので、

である。

補足1:
上の議論ではすべての $n = 1,2,\cdots$ に対して

が成り立つことを仮定したが、そこまで仮定しなくても、ある値よりも大きな全ての $n$ に対して成り立つのであれば、はさみうちの定理は成り立つ。証明方法は変わらない。

はさみうちの定理 (関数)

関数 $f(x)$ と $g(x)$ と $h(x)$ が任意の $x$ に対して

を満たし、

であるならば、

が成り立つ。
これをはさみうちの定理 (はさみうちの原理) という。

証明
関数 $f(x)$ の極限が

であることを $\epsilon-\delta$ 論法で表すと次のようになる。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある正の数 $\delta_{f}$ が存在し、 $|x-a| \lt \delta_{f}$ を満たす全ての $x$ に対して、

が成り立つ。
同じように、関数 $h(x)$ の極限が

であることを $\epsilon-\delta$ 論法で表すと次のようになる。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある正の数 $\delta_{h}$ が存在し、 $|x-a| \lt \delta_{h}$ を満たす全ての $x$ に対して、

が成り立つ。
このとき正の数 $\delta$ を

($\delta_{f}$ と $\delta_{h}$ の小さい方) と定義すると、

であることと、 $(1)$ と $(2)$ から $|x-a|>\delta$ を満たす全ての $x$ に対して、

が成り立つ。
したがって、任意の $\epsilon > 0$ に対して、 $|x-a|>\delta$ を満たす全ての $x$ に対して、

が成り立つ正の数 $\delta$ が存在することが示されたので、

である。

補足2:
上の議論ではすべての $x$ に対して

が成り立つことを仮定したが、そこまで仮定しなくても、 $a$ に十分に近い範囲の全ての $x$ に対して成り立つのであれば、はさみうちの定理は成り立つ。証明方法は変わらない。