左極限・右極限・不連続点とは？
左極限・右極限
負の方向から
(または数直線の左側から)
とる極限を左極限
(left-sided limit)
という。
$x=a$ における関数 $f(x)$ の左極限は
補足
より正確には、片側極限は $\epsilon - \delta$ 論法を通じて以下のように定義される。
左極限
$x=a$ に対する $f(x)$ の左極限 $L$ とは以下のように定義される。 すなわち、 任意の正の $\epsilon$ に対して正の数 $\delta$ が存在し、
であるならば、
が成り立つ。
このとき、
と表される。
右極限
$x=a$ に対する $f(x)$ の右極限 $L$ とは以下のように定義される。 任意の正の $\epsilon$ に対して正の数 $\delta$ が存在し、
であるならば、
が成り立つ。このとき、
と表される。
より正確には、片側極限は $\epsilon - \delta$ 論法を通じて以下のように定義される。
左極限
$x=a$ に対する $f(x)$ の左極限 $L$ とは以下のように定義される。 すなわち、 任意の正の $\epsilon$ に対して正の数 $\delta$ が存在し、
右極限
$x=a$ に対する $f(x)$ の右極限 $L$ とは以下のように定義される。 任意の正の $\epsilon$ に対して正の数 $\delta$ が存在し、
両側極限
左極限と右極限が収束し、
双方の極限値が等しいとき、
すなわち、
第一種不連続点
左極限と右極限の両方が収束するが、
等しくないとき、すなわち、
具体例
関数
は $x=1$ の左極限では
$1$ に収束し、すなわち、
であり、右極限では
$0$ に収束し、すなわち、
である。
よって、$x=1$ で $f$ の左極限と右極限が収束はするが等しくないので、
$x=1$
は関数
$f$
の第一種不連続点である。
関数
第二種不連続点
左極限と右極限のどちらか一方、
または両方が存在しないとき、
第二種不連続点という。
具体例
は、全ての $x$ で第二種不連続点である。
例えば、 $x$ を左から $0$ に近づけるとき、 $f(x)$ は $0$ のいくらでも近くで $1$ となる点を見つけられる。 それでいて、 それよりもさらに $0$ の近くで $-1$ となる点を見つけることができる。 また、それよりもさらに $0$ の近くで $1$ となる点を見つけることができる (以下繰り返し)。 よって、 $f(x)$ には $x=0$ に左極限がない。 同じように右極限もない。 $x=0$ は $f(x)$ の第二種不連続点である。 同様のことが全ての点で成り立つ。
例えば、 $x$ を左から $0$ に近づけるとき、 $f(x)$ は $0$ のいくらでも近くで $1$ となる点を見つけられる。 それでいて、 それよりもさらに $0$ の近くで $-1$ となる点を見つけることができる。 また、それよりもさらに $0$ の近くで $1$ となる点を見つけることができる (以下繰り返し)。 よって、 $f(x)$ には $x=0$ に左極限がない。 同じように右極限もない。 $x=0$ は $f(x)$ の第二種不連続点である。 同様のことが全ての点で成り立つ。