関数列の一様収束
関数列
順序のある関数の列
関数列 $\{ f_{n} \}$ が共通の定義域 $D$ を持つ (一つの集合 $D$ 上で定義される) とき、「$D$ 上の関数列 $\{ f_{n} \}$」と表される。
具体例
(1) $-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
は関数列であり、
と表せる。
(2) $0 \leq x \lt \infty$ 上で定義される関数列
は関数列であり、
と表せる。
(1) $-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
(2) $0 \leq x \lt \infty$ 上で定義される関数列
収束域
$D$
上の関数列
$\{ f_{n} \}$
の
$D$ 内の一点 $c$ での関数値
$\{ f_{n}(c) \}$ は数列となる。
このとき、
$D$ 内の点で
$\{ f_{n} \}$
の関数値が収束する点の全体を収束域という。
すなわち、収束域 $A$ とは
具体例
$-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
は、
$-1 \lt x \lt 1$ で $0$ に収束し、
$x=1$ で $1$ に収束する
(等比数列の極限を参考)。
よって、
$\{ f_{n} \}$
の収束域 $A$
は、
である。
$-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
各点収束
$D$
上の関数列
$\{ f_{n} \}$
の収束域 $A$ の各点 $x$ では、
数列 $\{ f_{n}(x) \}$ が収束する。
$\{ f_{n}(x) \}$
の極限値は $x$ ごとに異なるので、
$f(x)$ と表すことにすると、
具体例
$-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
の収束域 $A$
は、
であり、
$-1 \lt x \lt 1$ で $0$ に収束し、
$x=1$ で $1$ に収束する。
よって、
と定義すると、
$A$ 上で
が成り立つ。
このように、
$A$ 上で $\{ f_{n} \}$ は
$f$ に各点収束する。
後で示すように、 $\{ f_{n} \}$ は $f$ に一様収束はしない。
$-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
後で示すように、 $\{ f_{n} \}$ は $f$ に一様収束はしない。
一様収束
区間
$I$
上の関数列 $\{ f_{n} \}$
がある関数 $f$
に各点収束するとする。
同じように、 区間 $I$ の別の点 $x_{2}$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に (一点) 収束するとは、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 自然数 $N_{2}$ が存在し、 $N_{2}$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
$(4.1)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{1}$ は、 $(4.2)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{2}$ と一般的には異なる。 同じように、一点収束するために必要な自然数は、 区間 $I$ の各点ごとに異なる。
これに対し、 もしも区間 $I$ の全ての点に対して共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
具体例
関数列
$(1)$ 区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束する。
$(2)$ 区間 $I$ では、$\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束しないことを示す。
解答例
$(1)$
区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ の任意の $x$ に対して、
が成り立ち、
また、
$c \lt 1$ であるので、
任意の正の数 $\epsilon$
に対して、
を満たす自然数 $N$ が存在する。
したがって、
を満たす $N$ が存在するので、
関数列 $\{ f_{n} \}$
は区間
$[0, c]$
で
関数 $f$
に一様収束する。
$(2)$
はじめに
であるので、
$x=1$
のとき、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
自然数 $N$ が存在し、
$N$ よりも大きな全ての
$n$
に対して、
が成り立つ
($x=1$ では一様収束しないとはいえない)。
続いて $x=1$ を除いた 区間
$$
\tag{5.1}
$$
を考える。
この範囲では、
であるので、
任意の正の数
$\epsilon$ に対して、
$N$ よりも大きな全ての $n$
に対して、
$$
\tag{5.2}
$$
が成り立つためには
($\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するためには)、
$N$ よりも大きな全ての $n$
に対して、
$$
\tag{5.3}
$$
が成り立つよう十分に
$N$ が大きい必要がある。
ところが、
$(5.1)$
と対数関数の性質によって、
$$
\tag{5.4}
$$
とすると分かるように、
ある $x$ に対して
$(5.4)$ を成り立たせる十分に大きな
$N$ であったとしても、
すなわち、
\begin{eqnarray}
n \gt N
\hspace{1mm}
& \Rightarrow &
\hspace{1mm}
n \gt \frac{\log \epsilon}{ \log x}
\end{eqnarray}
$$
\tag{5.5}
$$
が成り立つ
$N$
であったとしても、
より $1$ に近い別の $x$ に対しては
($\log x$ が $0$ に近づくから)、
$(5.5)$ が
成り立たなくなる。
そのような $N$ と $x$ は
$(5.2)$ を成り立たせない。
以上の議論は、
区間 $(5.1)$ 内の全ての $x$ に渡って、
を成り立たせる共通の $N$ が存在しないことを意味する。
言い換えると、
区間 $(5.1)$
で
関数列
$f_{n}$ は
関数
$f$ に一様収束しない。
$(1)$
区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ の任意の $x$ に対して、
$(2)$
はじめに
続いて $x=1$ を除いた 区間
一様収束: $\sup$ による表現
以下の同値関係が成り立つ。
証明
($(6.1)$ の $\Longrightarrow$ の証明)
区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するならば、 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、 ある自然数 $N$ が存在し、 全ての $x \in I$ に対して、 $N \lt n$ ならば、
が成り立つ。これが全ての
$x \in I$ に対して成り立つことから、
$N \lt n$ ならば、
$$
\tag{6.2}
$$
が成り立つ
($\sup$ の定義を参考) 。
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$(6.2)$ を満たす自然数 $N$ が存在することが示されたので、
である。
($(6.1)$ の $\Longleftarrow$ の証明)
が成り立つとする。
これと全ての $x \in I$ に対して、
が成り立つ
($\sup$ の定義を参考)
ことから、
が成り立つ。
これを $\epsilon$ 論法で表すと、
任意の正の数
$\epsilon$
に対して、
ある自然数 $N$ が存在し、
$N \lt n$ であるならば、
全ての $x \in I$ に対して、
が成り立つことを表している。
よって、
$\{ f_{n} \}$ が区間 $I$ で $f$ に一様収束する。
\begin{eqnarray}
\big|f_{n}(x) - f(x) \big| \lt \epsilon
\end{eqnarray}
($(6.1)$ の $\Longrightarrow$ の証明)
区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するならば、 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、 ある自然数 $N$ が存在し、 全ての $x \in I$ に対して、 $N \lt n$ ならば、
($(6.1)$ の $\Longleftarrow$ の証明)
一様収束 ⇒ 各点収束
関数列
$\{ f_{n} \}$
が区間 $I$ 上で関数 $f$ に一様収束するならば、
$I$ 上で各点収束する。すなわち、
解説
区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するので、 任意の正の $\epsilon$ に対して、 区間 $I$ の全ての点で共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。
したがって、この $N$ を用いると、
$I$ の各点において
$$
\tag{7.1}
$$
を成り立つ。
言い換えると、
$I$ の各点で
$(7.1)$ を成り立たせる自然数 $N$ が存在する。
よって、
である。
区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するので、 任意の正の $\epsilon$ に対して、 区間 $I$ の全ての点で共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、