関数列の一様収束

関数列
  順序のある関数の列
関数列といい、 $\{f_{n}\}$ または $ \{f_{n}(x) \} $ と表される。
  関数列 $\{ f_{n} \}$ が共通の定義域 $D$ を持つ (一つの集合 $D$ 上で定義される) とき、「$D$ 上の関数列 $\{ f_{n} \}$」と表される。
具体例
(1)  $-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
は関数列であり、
と表せる。

(2)   $0 \leq x \lt \infty$ 上で定義される関数列
は関数列であり、
と表せる。

収束域
  $D$ 上の関数列 $\{ f_{n} \}$ の $D$ 内の一点 $c$ での関数値 $\{ f_{n}(c) \}$ は数列となる。 このとき、 $D$ 内の点で $\{ f_{n} \}$ の関数値が収束する点の全体を収束域という。 すなわち、収束域 $A$ とは
である。
具体例
  $-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
は、 $-1 \lt x \lt 1$ で $0$ に収束し、 $x=1$ で $1$ に収束する (等比数列の極限を参考)。 よって、 $\{ f_{n} \}$ の収束域 $A$ は、
である。

各点収束
  $D$ 上の関数列 $\{ f_{n} \}$ の収束域 $A$ の各点 $x$ では、 数列 $\{ f_{n}(x) \}$ が収束する。 $\{ f_{n}(x) \}$ の極限値は $x$ ごとに異なるので、 $f(x)$ と表すことにすると、
である。 これを $A$ 上で $f_{n}$ は $f$ に各点収束するという。 $\epsilon$ 論法で表すと、 $A$ 上の点 $x$ と任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 ある自然数 $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。
具体例
  $-\infty \lt x \lt \infty$ 上の関数列
収束域 $A$ は、
であり、 $-1 \lt x \lt 1$ で $0$ に収束し、 $x=1$ で $1$ に収束する。 よって、
と定義すると、 $A$ 上で
が成り立つ。 このように、 $A$ 上で $\{ f_{n} \}$ は $f$ に各点収束する。
  後で示すように、 $\{ f_{n} \}$ は $f$ に一様収束はしない。

一様収束
  区間 $I$ 上の関数列 $\{ f_{n} \}$ がある関数 $f$ に各点収束するとする。
  $\{ f_{n} \}$ が 区間 $I$ 内のある一点 $x_{1}$ において関数 $f$ に (一点) 収束するとは、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 自然数 $N_{1}$ が存在し、 $N_{1}$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
$$ \tag{4.1} $$ が成り立つことである。

  同じように、 区間 $I$ の別の点 $x_{2}$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に (一点) 収束するとは、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 自然数 $N_{2}$ が存在し、 $N_{2}$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
$$ \tag{4.2} $$ が成り立つことである。

  $(4.1)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{1}$ は、 $(4.2)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{2}$ と一般的には異なる。 同じように、一点収束するために必要な自然数は、 区間 $I$ の各点ごとに異なる。
  これに対し、 もしも区間 $I$ の全ての点に対して共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
一様収束
が成り立つならば、 関数列 $\{ f_{n} \}$ は区間 $I$ で $f$ に 一様収束するという。
具体例
  関数列
と関数
に対して、

$(1)$   区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束する。

$(2)$   区間 $I = [0,1]$ では、$\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束しないことを示す。
一様収束の例の図

解答例
$(1)$
  区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ の任意の $x$ に対して、
が成り立ち、 また、 $c \lt 1$ であるので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
を満たす自然数 $N$ が存在する。 したがって、
を満たす $N$ が存在するので、 関数列 $\{ f_{n} \}$ は区間 $[0, c]$ で 関数 $f$ に一様収束する。


$(2)$
  はじめに
であるので、 $x=1$ のとき、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 自然数 $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、
が成り立つ ($x=1$ では一様収束しないとはいえない)。
  続いて $x=1$ を除いた 区間
$$ \tag{5.1} $$ を考える。 この範囲では、
であるので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、
$$ \tag{5.2} $$ が成り立つためには ($\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するためには)、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、
$$ \tag{5.3} $$ が成り立つよう十分に $N$ が大きい必要がある。 ところが、 $(5.1)$ と対数関数の性質によって、
$$ \tag{5.4} $$ とすると分かるように、 ある $x$ に対して $(5.4)$ を成り立たせる十分に大きな $N$ であったとしても、 すなわち、 \begin{eqnarray} n \gt N \hspace{1mm} & \Rightarrow & \hspace{1mm} n \gt \frac{\log \epsilon}{ \log x} \end{eqnarray} $$ \tag{5.5} $$ が成り立つ $N$ であったとしても、 より $1$ に近い別の $x$ に対しては ($\log x$ が $0$ に近づくから)、 $(5.5)$ が 成り立たなくなる。 そのような $N$ と $x$ は $(5.2)$ を成り立たせない。 以上の議論は、 区間 $(5.1)$ 内の全ての $x$ に渡って、
を成り立たせる共通の $N$ が存在しないことを意味する。 言い換えると、 区間 $(5.1)$ で 関数列 $f_{n}$ は 関数 $f$ に一様収束しない。

一様収束: $\sup$ による表現
  以下の同値関係が成り立つ。
一様収束のsupによる表現
$$ \tag{6.1} $$
証明
($(6.1)$ の $\Longrightarrow$ の証明)
  区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するならば、 任意の正の数 $\epsilon$ に対し、 ある自然数 $N$ が存在し、 全ての $x \in I$ に対して、 $N \lt n$ ならば、
が成り立つ。これが全ての $x \in I$ に対して成り立つことから、 $N \lt n$ ならば、
$$ \tag{6.2} $$ が成り立つ ($\sup$ の定義を参考) 。 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 $(6.2)$ を満たす自然数 $N$ が存在することが示されたので、
である。


($(6.1)$ の $\Longleftarrow$ の証明)
 
が成り立つとする。 これと全ての $x \in I$ に対して、
が成り立つ ($\sup$ の定義を参考) ことから、
が成り立つ。 これを $\epsilon$ 論法で表すと、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 ある自然数 $N$ が存在し、 $N \lt n$ であるならば、 全ての $x \in I$ に対して、
が成り立つことを表している。 よって、 $\{ f_{n} \}$ が区間 $I$ で $f$ に一様収束する。 \begin{eqnarray} \big|f_{n}(x) - f(x) \big| \lt \epsilon \end{eqnarray}

一様収束 ⇒ 各点収束
  関数列 $\{ f_{n} \}$ が区間 $I$ 上で関数 $f$ に一様収束するならば、 $I$ 上で各点収束する。すなわち、
が成り立つ。
解説
  区間 $I$ で $\{ f_{n} \}$ が $f$ に一様収束するので、 任意の正の $\epsilon$ に対して、 区間 $I$ の全ての点で共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、
が成り立つ。 したがって、この $N$ を用いると、 $I$ の各点において
$$ \tag{7.1} $$ を成り立つ。 言い換えると、 $I$ の各点で $(7.1)$ を成り立たせる自然数 $N$ が存在する。 よって、
である。