関数列の一様収束

	一様収束
-	定義
-	具体例

	性質
-	$\sup$ による表現
-	一様収束 ⇒ 各点収束

一様収束

区間 $I$ を定義域とする関数列

$$ \tag{1.1} $$ が $n$ を大きくするときにある関数 $f$ に近づいてゆくような状況を考える。

関数列 $(1.1)$ が区間 $I$ 内のある一点 $x_{1}$ において関数 $f$ に (一点) 収束するとは、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、自然数 $N_{1}$ が存在し、 $N_{1}$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、

$$ \tag{1.2} $$ が成り立つことである。

同じように、区間 $I$ の別の点 $x_{2}$ で関数列 $(1.1)$ が $f$ に (一点) 収束するとは、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、自然数 $N_{2}$ が存在し、 $N_{2}$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、

$$ \tag{1.3} $$ が成り立つことである。

$(1.2)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{1}$ は、 $(1.3)$ が成り立つために必要な自然数 $N_{2}$ と一般的には異なる。同じように、一点収束するために必要な自然数は、区間 $I$ の各点ごとに異なる。
これに対し、もしも区間 $I$ の全ての点に対して共通の $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての自然数 $n$ に対して、

が成り立つならば、関数列 $(1.1)$ は区間 $I$ で $f$ に一様収束するという。

具体例

関数列

と関数

に対して、

$(1)$ 区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束する。

$(2)$ 区間 $I$ では、$f_{n}$ が $f$ に一様収束しないことを示す。

解答例
$(1)$
区間 $[0, c]$ $(c \lt 1)$ の任意の $x$ に対して、

が成り立ち、また、 $c \lt 1$ であるので、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、

を満たす自然数 $N$ が存在する。したがって、

を満たす $N$ が存在するので、関数列 $f_{n}$ は区間 $[0, c]$ で関数 $f$ に一様収束する。

$(2)$
はじめに

であるので、 $x=1$ のとき、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、自然数 $N$ が存在し、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、

が成り立つ ($x=1$ では一様収束しないとはいえない)。
続いて $x=1$ を除いた区間

$$ \tag{2.1} $$ を考える。この範囲では、

であるので、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、

$$ \tag{2.2} $$ が成り立つためには ($f_{n}$ が $f$ に一様収束するためには)、 $N$ よりも大きな全ての $n$ に対して、

$$ \tag{2.3} $$ が成り立つよう十分に $N$ が大きい必要がある。ところが、 $(2.1)$ と対数関数の性質によって、

$$ \tag{2.4} $$ とすると分かるように、ある $x$ に対して $(2.4)$ を成り立たせる十分に大きな $N$ であったとしても、すなわち、 \begin{eqnarray} n \gt N \hspace{1mm} & \Rightarrow & \hspace{1mm} n \gt \frac{\log \epsilon}{ \log x} \end{eqnarray} $$ \tag{2.5} $$ が成り立ったとしても、その $x$ よりも $1$ に近い別の $x$ に対しては ($\log x$ が $0$ に近づくから)、その $N$ では $(2.5)$ が (すなわち $(2.2)$ が) 成り立たなくなる。これは区間 $(2.1)$ 内の全ての $x$ に渡って、

を成り立たせる共通の $N$ が存在しないことを意味する。言い換えると、区間 $(2.1)$ で関数列 $f_{n}$ は関数 $f$ に一様収束しない。