区分的に連続・区分的に滑らか

具体例
  次の関数は区分的に定義されている 4つの区間の全てを合わせると、 $f(x)$ の定義域 (実数の全体) が覆われる。

具体例
$(1)$   次の関数   は $x=1$ で不連続であるが、それ以外では連続であり、 どの点でも左極限と右極限が存在する。よって、 $f(x)$ は区分的には連続である。
$(2)$   次の関数 は $x=1$ で左極限が存在しない。 よって、 $f(x)$ は区分的には連続ではない。

具体例
$(1)$   次の関数 は区分的に連続であり (下図)、 なおかつ、導関数が となり、区分的に連続であるので (下図)、 $f(x)$ は区分的に滑らかな関数である。

---

$(2)$   次の関数 は、 どの点でも左極限と右極限が収束するので、 区分的に連続である (下図)。 一方、 導関数が であり、$x=1$ において左極限が収束しない (下図)。 よって、$f(x)$ は区分的に滑らかではない。 以上から、 $f(x)$ は区分的に連続であるが区分的に滑らかではない関数である。

証明
  一つの区分 $$ \tag{1} $$ に注目する。 $f(x)$ は区分的に連続であるので、 $x=d_{k}$ で右極限を持つ。 その極限値を $R_{k}$ とすると、 任意の $\epsilon \gt 0$ に対し、 $$ \tag{2} $$ を満たす $\delta_{R} \gt 0$ が存在する。 同じように $f(x)$ は $x=d_{k+1}$ で左極限を持つので、 その極限値を $L_{k}$ とすると、 任意の $\epsilon \gt 0$ に対し、 $$ \tag{3} $$ を満たす $\delta_{L} \gt 0$ が存在する。 この $\delta_{R}$ と $\delta_{L}$ を用いて、 の 5 つの区間に分けて考える。

---

1. $f(x)$ は区間 $[a, b]$ 内で定義された関数であるので、 この区間内では (有限な) 値を持つ。 よって、$x=d_{k}$ において、有限な値 $f(d_{k})$ を持つ。

---

2. $(2)$ から が成り立つので、$f(x)$ は有界である。

---

3. $f(x)$ は区分的に連続な関数であるので、 この区間で連続である。閉区間で連続な関数は最大値と最小値を持つので (「最大値・最小値の定理」)、 $f(x)$ は有界である。

---

4. $(3)$ を用いて、2. と同様の議論によって、$f(x)$ が有界であることが示される。

---

5. 1 と同様に $f(x)$ は有限である。


  以上 から $f(x)$ は区分 $(1)$ で有界である。 他の区分に対しても同様に考えることにより、 $f(x)$ は区間 $[a,b]$ 全体で有界であることが分かる。
  有界な関数は (有限個の不連続点があったとしても) 積分可能であるので、 $f(x)$ は積分可能であり、 積分が各区分の積分の和によって表されうる (「有限個の点で不連続 ⇒ 積分可能 」を参考)。 すなわち、 が成り立つ。