項別微分と項別積分 ～微分/積分と極限の交換～
| 微積分と極限の交換 | |
|---|---|
| - | 連続関数列が $f$ に一様収束 $\Rightarrow$ $f$ が連続 |
| - | 積分と極限の交換 |
| - | 微分と極限の交換 |
| 項別微分/積分 | |
|---|---|
| - | 関数項級数 |
| - | 連続性 |
| - | 項別積分 |
| - | 項別微分 |
連続関数列が $f$ に一様収束 $\Rightarrow$ $f$ が連続
連続関数列
証明
区間 $I$ 上で関数列 $f_{n}$ が 連続であるので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 正の数 $\delta$ が存在し、
$$
\tag{1.2}
$$
が成り立つ。
また、区間 $I$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束するので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 ある自然数 $N$ が存在し、
$$
\tag{1.3}
$$
が成り立つ
(以降 $n$ は $n \gt N$ を満たすとする)。
$a \in I$ であるので、
$(1.3)$
より、
$$
\tag{1.4}
$$
が成り立つ。
また、三角不等式から
$$
\tag{1.5}
$$
が成り立つ。
以上の
$(1.5)$
$(1.2)$
$(1.3)$
$(1.4)$ から、
$$
\tag{1.5}
$$
が成り立つ。
$\epsilon$ が任意の正の数であるので、
$3 \epsilon$ もまた任意の正の数である。
任意の正の数 $(3 \epsilon)$ に対して、
$(1.5)$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在することが示されたので、
$f(x)$ は $a$ で連続である。
区間 $I$ 上で関数列 $f_{n}$ が 連続であるので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 正の数 $\delta$ が存在し、
また、区間 $I$ で $f_{n}$ が $f$ に一様収束するので、 任意の正の数 $\epsilon$ に対して、 ある自然数 $N$ が存在し、
積分と極限の交換
連続関数列
証明
区間 $I$ で関数列 $f_{n}$ が連続であり、 関数 $f$ に一様収束することから、 $f$ は区間 $I$ 上で連続関数である ($(1.1)$ 付近を参考)。 したがって、$f$ は区間 $I$ 上で積分可能である。
(1) $a \lt b$ の場合
が成り立つ
(最後の不等号については下図を参考)。
関数列 $f_{n}$ が関数
$f$ に一様収束することから、
が成り立つ
(「一様収束のsup表現」を参考) 。
これらより、
が成り立つ。
ここから、
であり (「絶対値の極限が0」を参考)、
である。
$(2.3)$ より、
と表される。すなわち、積分と極限を交換できる。
区間 $I$ で関数列 $f_{n}$ が連続であり、 関数 $f$ に一様収束することから、 $f$ は区間 $I$ 上で連続関数である ($(1.1)$ 付近を参考)。 したがって、$f$ は区間 $I$ 上で積分可能である。
(1) $a \lt b$ の場合
微分と極限の交換
区間 $I$ を定義域に含む
$\mathrm{C}^{1}$ 級関数列を
証明
$f_{n}$ は$\mathrm{C}^{1}$ 級関数であるので、 微分可能である。よって、
$$
\tag{3.4}
$$
が成り立つ。
$f_{n}$ は区間 $I$ で $f$ に各点収束するので、
$$
\tag{3.5}
$$
が成り立つ。
また、$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}$
が $g$ に一様収束することから、
極限と積分が入れ替えでき、
$$
\tag{3.6}
$$
が成り立つ。
$(3.4)$ を
$n \rightarrow \infty$ とし、
$(3.5)$ $(3.6)$ を用いると、
$$
\tag{3.7}
$$
が成り立つことが分かる。
ところで、 $f_{n}$ が$\mathrm{C}^{1}$ 級関数であるので、 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}$ は連続関数である。 また、 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}$ は $g$ に一様収束するので、 $g$ は連続関数である (「連続関数列が一様収束 ⇒ 連続」を参考)。 したがって、 \begin{eqnarray} g(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int^{x}_{a} g(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}
$$
\tag{3.8}
$$
が成り立つ
(微積分学の基本定理)。
$(3.7)$ と $(3.8)$ より、
$$
\tag{3.9}
$$
が成り立つ。
$g(x)$ が連続なので、
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$ は連続である。
したがって、$f$ は
$\mathrm{C}^{1}$ 級関数である。
また、
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}(x)$
は
$g(x)$ に一様収束するので、
$$
\tag{3.10}
$$
が成り立つ
(「一様収束 ⇒ 各点収束」を参考)。
以上の $(3.5) (3.9) (3.10)$ より、
が成り立つ。すなわち、微分と極限を入れ替えできる。
$f_{n}$ は$\mathrm{C}^{1}$ 級関数であるので、 微分可能である。よって、
ところで、 $f_{n}$ が$\mathrm{C}^{1}$ 級関数であるので、 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}$ は連続関数である。 また、 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f_{n}$ は $g$ に一様収束するので、 $g$ は連続関数である (「連続関数列が一様収束 ⇒ 連続」を参考)。 したがって、 \begin{eqnarray} g(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int^{x}_{a} g(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}
関数項級数
関数列 $\{ f_{n} \}$ の和
関数項級数の連続性
連続関数列
証明
関数列 $(5.1)$ の和
もまた関数列である。
$(5.1)$ が連続であるので、
$S_{k}(x)$ もまた連続である
(「和も連続」を参考)。
したがって、
$S_{k}(x)$
は連続関数列である。
よって、
区間 $I$ で
$S_{k}$ がある関数 $S$ に一様収束するならば、
$S$ は連続関数である
(「連続関数列が $f$ に一様収束 ⇒ $f$ が連続 」を参考)。
関数列 $(5.1)$ の和
項別積分
連続関数列
証明
関数列 $(6.1)$ の和
もまた関数列である。
$(6.1)$ が連続であるので、
$S_{k}(x)$ もまた連続である
(「和も連続」を参考)。
したがって、
$S_{k}(x)$
は連続関数列である。
よって、
区間 $I$ で
$S_{k}$ がある関数 $S$ に一様収束するならば、
が成り立つ
(「積分と極限の交換」を参考)。
左辺を
$(4.1)$ に従って、
と表す。
右辺は、
と表される。
よって、
が成り立つ。
関数列 $(6.1)$ の和
項別微分
連続関数列
証明
関数列 $(7.1)$ の和
もまた関数列である。
$(7.1)$ が連続であるので、
$S_{k}(x)$ もまた連続である
(「和も連続」を参考)。
したがって、
$S_{k}(x)$
は連続関数列である。
よって、
区間 $I$ で
$S_{k}$ がある関数 $S$ に一様収束するならば、
が成り立つ
(「微分と極限の交換」を参考)。
左辺を
$(4.1)$ に従って、
と表す。
右辺は、
と表される (「和の微分」を参考) 。
よって、
が成り立つ。
関数列 $(7.1)$ の和