三角関数の基本的性質
| 基礎 | |
|---|---|
| - | 三角関数の定義 |
| - | オイラーの公式 |
| - | 加法定理 |
| - | ピタゴラスの公式 |
| - | $\cos$ は偶関数、$\sin$ は奇関数 |
| - | 微分と微分方程式 |
| - | 級数による表現 |
| - | 弧の長さと$\pi$ |
| - | 周期 $2 \pi$ の周期関数 |
| 公式と値 | |
|---|---|
| - | $\cos 0$ と $\sin 0$ |
| - | 代表的な値 $\cos \frac{\pi}{3}$、$\cos \frac{\pi}{2}$、$\cos \pi$ など |
| - | 倍角の公式 |
| - | 半角の公式 |
| - | 和積の公式と積和の公式 |
| - | 補角 ($\pi - x$) と余角 $(\frac{\pi}{2}-\pi)$ |
三角関数の定義
三角関数を指数関数によって
指数関数が複素数全体で定義される滑らかな関数であることから、 三角関数もまた複素数全体で定義される滑らかな関数である。
オイラーの公式
三角関数の定義から
加法定理
三角関数には次の関係が成り立つ。
ピタゴラスの公式
三角関数には
ここで $\cos^2 z = (\cos z)^2$, $\sin^2 z = (\sin z)^2$ としている。
$\cos$ は偶関数、$\sin$ は奇関数
三角関数のうち $\cos$ は偶関数であり、
$\sin$ は奇関数である。
すなわち、
微分と微分方程式
三角関数の微分は、
級数による表現
三角関数は
弧の長さと $\pi$
$x$ が実数のとき、
$\sin x$ の $x$ は半径 $1$ の円弧の長さである。
このことから、$\pi$ を定義すると、
解説
三角関数が級数によって、
と表されるので、
$x$ が実数のとき、
三角関数は実関数である。
ここで
とおくと、
ピタゴラスの公式から
$$
\tag{1}
$$
であるから、
$(u,v)$ は半径 $1$ の円上の点である。
そこで、
上図の円弧の長さを $\theta(u)$ と表すと、
この付近では、
であるので、
$$
\tag{2}
$$
である。
$\theta(u)$ は 区間 $[0, 1)$ で $u$ に関する単調増加関数であるので、
この範囲にある限り逆関数 $u(\theta)$ が存在する。以下では
この関数が $\sin \theta$ であることを示す。
$\theta(u)$ の定義 $(2)$ から
であるので、
$u(\theta)$ の 微分は
である。
また、
二階の微分は、
である。
これらより、
を得る。
$\theta$ の定義 $(2)$ より
$
\theta (0) = 0
$
であるので、
である。これと $(1)$ より、
である。これらから、
である。
これを用いると、
$u$ の
$\theta=0$ におけるテーラー展開が
であることが分かる。
右辺は $\sin \theta$ の級数表示そのものであるので、
である。
したがって、
$\sin \theta$ の $\theta$ は半径 $1$ の弧の長さであることが分かった。
また同様に、
であることも示される。
$\theta$ が弧の長さであることが分かったので、
によって $\pi$ を定義する。
これより、
である。すなわち、
また、
である。
定義より $\sin \theta $ は連続関数であり、 逆関数 $\theta(u)$ が区間 $[0, 1)$ で単調増加関数であることから、 $\sin \theta$ は $0 \leq u(\theta) \lt 1$ である限り単調増加する関数である。 また 加法定理から
であること示され (三角関数の代表的な値を参考)、
でもある ($0$ のときの三角関数を参考)。
以上から、次の増減表を得る。
これより、
である。
また定義から $\cos \theta $ も連続関数であり、 微分が
であることから、
$0 \lt \theta \leq \frac{\pi}{2} $
で
$
\cos' \theta \lt 0
$
であるため、
この区間で単調減少関数である。
また
加法定理から
であること示され (三角関数の代表的な値を参考)、
でもある ($0$ のときの三角関数を参考)。
以上から、次の増減表を得る。
これより、
である。
三角関数が級数によって、
ここで
$\theta(u)$ の定義 $(2)$ から
また同様に、
$\theta$ が弧の長さであることが分かったので、
定義より $\sin \theta $ は連続関数であり、 逆関数 $\theta(u)$ が区間 $[0, 1)$ で単調増加関数であることから、 $\sin \theta$ は $0 \leq u(\theta) \lt 1$ である限り単調増加する関数である。 また 加法定理から
また定義から $\cos \theta $ も連続関数であり、 微分が
周期 $2 \pi$ の周期関数
三角関数は周期 $2 \pi$ の関数である。
すなわち、
$\cos 0$ と $\sin 0$
$z=0$ のときの三角関数の値は、
代表的な値 $\cos \frac{\pi}{3}$、$\cos \frac{\pi}{2}$、$\cos \pi$ など
三角関数の代表的な値は、
証明
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ と 加法定理(または倍角の公式)を用いる。
$\frac{\pi}{3}$ については、
$\frac{\pi}{2}$ については、
$\sin\frac{\pi}{4}$ については、
半角の公式から
であることと、
弧の長さとの関係から
であることを用いると、
である。
同様に半角の公式から
であることと、
弧の長さとの関係から
であるので、
である。
$\pi$ については、
$2 \pi$ については
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ と 加法定理(または倍角の公式)を用いる。
$\frac{\pi}{3}$ については、
同様に半角の公式から
倍角の公式
以下の関係は倍角の公式と呼ばれる。
半角の公式
以下の関係は半角の公式と呼ばれる。
和積の公式・積和の公式
以下の関係は和積の公式と呼ばれる。
補角 ($\pi - x$) と余角 $(\frac{\pi}{2}-\pi)$
補角 ($\pi - x$) に対して
証明
補角 ($\pi - x$) については 加法定理と $z=\pi$ のときの値が
同じように、 加法定理と$z=\frac{\pi}{2}$ のときの値が
