ロドリゲスの回転公式  

  任意の軸のまわりに角度 $\theta$ だけ回転させる回転行列は と表される。 ここで は、大きさ $1$ の回転軸ベクトルである。 また、 である。
  この表現をロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula)と呼ぶ。   ある点 $P$ を 任意の回転軸 $\mathbf{n}$ のまわりに角度 $\theta$ だけ回転して得られる点を $Q$ する。 回転軸 $\mathbf{n}$ は点 $O$ を通り、 点 $P$ の回転軸 $\mathbf{n}$ 上への投影を $O'$ とする (図)。   原点を $O'$ とし、 $ \overrightarrow{O'P}$ の方向に $x$ 軸、 $\mathbf{n}$ の方向に $z$ 軸、 それらと直交し、 右手系をなす方向に $y$ 軸を持つ座標系を $C'$ とする。 $C'$ の $x$ 軸、$y$ 軸を向く単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{e}_{x}$、$\mathbf{e}_{y}$ とすると、 $$ \tag{1} $$ は、 右手系の正規直交基底をなす。 $ \overrightarrow{O'Q}$ と $\mathbf{e}_{x}$ の成す角が回転角 $\theta$ であるので、 が成り立つ (上図参)。 ここで $ \| \cdot \|$ はノルムを表す記号であり、 そのベクトルの長さを表す。 $\overrightarrow{O'Q}$ は $ \overrightarrow{O'P}$ を回転させたベクトルであるので長さは変わらない。 すなわち、 が成り立つので、 と表せる。 $\mathbf{e}_{x}$ は $\overrightarrow{O'P}$ と同じ方向の単位ベクトルであるから、 $$ \tag{2} $$ と表せる。 これより、 である。 ここで $$ \tag{3} $$ を用いた。 $O'$ は $P$ の回転軸 $\mathbf{n}$ 上への投影点であるので、 $$ \tag{4} $$ である。 ここで $(\cdot, \cdot)$ は内積を表す記号である。 これより、 と表せる。   $(1)$ が右手系をなすことから、 が成立する。 ここで $\times$ は外積を表す記号である。 よって、 と表せる。二つ目の等号では再び $(2)$ を用いた。 三つめの等号では $(3)$ を用いた。 ここで、 $\mathbf{n}$ と $\overrightarrow{OO'} $ が平行であることから が成立する。 よって、 と表せる。 この式から を得る。二つ目の等号では $(4)$ を用いた。 ここで と表すことにすると、 この式は $$ \tag{5} $$ と表される。 右辺の内積と外積をそれぞれ と表す。 ここで $\epsilon_{ijk}$ はLevi-Civita の記号である。 これらより、 $(5)$ 式の第 $i$ 成分は、 と表せる。ここで $\delta_{ij}$ は によって定義されるクロネッカーのデルタである。 ここで行列 $R$ を によって定義することにより、 上の式は とまとめられる。 この式は 回転前の位置 $ \mathbf{r}$ に行列 $R$ を掛けると、 回転後の位置 $ \mathbf{r}'$ が得られることを表している。 すなわち、$R$ が回転行列であることを表している。 と置いて、 $R_{ij}$ の各成分を具体的に表すと、 であり、 行列表現すると、 と表される。 この行列 (または $(5)$) をロドリゲスの回転公式と呼び、 任意軸回転後の位置をもとの位置で表すときに使われる。   回転軸が3軸方向を向いている場合、つまり の場合、 上に記したロドリゲスの公式によって、 回転行列 $R$ の各成分は \begin{eqnarray} R_{11} &=& c + n_{1}^{2} \left( 1- c \right) \\ &=& c \\ R_{12} &=& n_{1}n_{2} \left( 1- c \right) - n_{3} s \\ &=& -s \\ R_{13} &=& n_{1}n_{3} \left( 1- c \right) + n_{2} s \\ &=& 0 \\ R_{21} &=& n_{2}n_{1} \left( 1- c \right) + n_{3} s \\ &=& s \\ R_{22} &=& c + n_{2}^{2} \left( 1- c \right) \\ &=& c \\ R_{23} &=& n_{2}n_{3} \left( 1- c \right) - n_{1} s \\ &=& 0 \\ R_{31} &=& n_{3}n_{1} \left( 1- c \right) - n_{2}s \\ &=& 0 \\ R_{32} &=& n_{3}n_{2} \left( 1- c \right) + n_{1}s \\ &=& 0 \\ R_{33} &=& c + n_{3}^{2}\left( 1- c \right) \\ &=& 0 \end{eqnarray} と求められる。 行列で表すと、 である。