正規直交系の変換

  正規直交系 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} \}$ を正規直交系 $\{ \mathbf{e}_{1}', \mathbf{e}_{2}',\mathbf{e}_{3}' \}$ にする変換として回転行列を定義できる。

正規直交系の変換00

ただし、正規直交系はともに右手系(あるいはともに左手系)であるとする。

最終更新 2015 年 8月24日


  詳細

  正規直交系 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} \}$ から、 正規直交系 $\{ \mathbf{e}_{1}', \mathbf{e}_{2}',\mathbf{e}_{3}' \}$ への変換 $R$ は、

正規直交系の変換01

である。
 : 実際、$R$ を $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} \}$ に作用すると、$j=1,2,3$ に対し、

正規直交系の変換02

を満たす。
  $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} \}$ と $\{ \mathbf{e}_{1}', \mathbf{e}_{2}',\mathbf{e}_{3}' \}$ が正規直交系であることから、 $$R^{T}R = RR^{T}=I$$ が成立するので、$R$ は直交行列である。
  正規直交系 $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} \}$ と $\{ \mathbf{e}_{1}', \mathbf{e}_{2}',\mathbf{e}_{3}' \}$ がそれぞれ

正規直交系の変換03

である場合、$R$ は

正規直交系の変換04

と表される。

  例

  回転行列

正規直交系の変換05

は、正規直交系

正規直交系の変換06

を正規直交系

正規直交系の変換07

に変換する行列であり、

正規直交系の変換08

と表される。








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