ロドリゲスの回転公式と四元数の対応

  $\mathbf{n} = [n_1, n_2, n_3]$ を大きさ 1 の回転軸ベクトル、 $\theta$ を回転角度、 $[q_0, q_1, q_2, q_3]$ を回転行列を表す四元数とするとき、 両者の間には、


ロドリゲス四元数00

の対応関係がある。


  詳細

  ロドリゲスの回転公式により、 回転軸ベクトル $\mathbf{n} = [n_1, n_2, n_3]$ の周りの角度 $\theta$ の回転を与える回転行列は、


ロドリゲス四元数01

と表される。

ロドリゲス四元数02

と、$\mathbf{n}$ が単位ベクトルであること、すなわち

ロドリゲス四元数03

を使って、各成分を書き直すと、1行1列成分は、

ロドリゲス四元数04

である。1行2列成分は、

ロドリゲス四元数05

と表せる。
  以下同じように他の成分を表すと、

ロドリゲス四元数06

である。
  この表現と四元数による表現

ロドリゲス四元数07

を比較すると分かるように、両者の間には、

ロドリゲス四元数08

の対応関係がある。
  この関係により、回転軸と回転角度が与えられたときには、 それに対応する四元数を求めることができる。 逆に四元数が与えられたときには、 それに対応する回転軸と回転角度を求めることができる。





ロドリゲスの回転公式
四元数による回転行列の表現







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