ラグランジュ補間

  関数 $f(x)$ を、 $f(x)$ 上の $n+1$ 個の点

ラグランジュ補間00

を通る多項式で近似する方法をラグランジュ補間 (Lagrange interpolation) という。
  これによると、$f(x)$ は、

ラグランジュ補間01

と近似される。ここで $L_{j}(x)$ は、 $n$ 次多項式

ラグランジュ補間02
である。
最終更新 2016年 1月30日


  詳細

  関数 $f(x)$ を、 $f(x)$ 上の $n+1$ 個の点

ラグランジュ補間03

を通る多項式 $p(x)$ で近似する。 ただし

ラグランジュ補間04

と並んでいるものとする。
  上の $n+1$ 個の点を通る $n$ 次多項式を $p(x)$ とすると、$p(x)$ は、

ラグランジュ補間05

を満たす (図)。
ラグランジュ補間イメージ
  $p(x)$ を $n$ 次多項式 $L_{i}(x)$ $(i=0,1, \cdots,n)$ によって

ラグランジュ補間06

と置く (この時点で $L_{i} (x)$ の具体的な形は定まっていない)。
  $p(x_{0}) = f(x_{0}) $ が満たされるためには、 $x=x_{0}$ のときに、多項式 $L_{i}(x)$ が

ラグランジュ補間07

を満たせばよい。
  同じように $p(x_{1}) = f(x_{1}) $ が満たされるためには $x=x_{1}$ のときに、多項式 $L_{i}(x)$ が

ラグランジュ補間08

を満たせばよい。
  以下同様に考えると、 条件 $p(x_{j}) = f(x_{j})$ $(j=0,1,\cdots,n)$ が満たされるためには、 多項式 $L_{i} (x)$ が

ラグランジュ補間09

を満たされればよいことが分かる。
  上の式の $L_{0} (x)$ に着目すると、 全ての $i \hspace{1mm} (\neq 0)$ に対して、$L_{0}(x_{i}) = 0$ であることから、 因数定理によって、

ラグランジュ補間10

と表すことができる。ここで $\alpha_{0} $ は定数であるが、 $L_{0}(x_{0}) = 1$ により、

ラグランジュ補間11

と求まる。以上から、

ラグランジュ補間12

を得る。
  同じように $L_{1} (x)$ に着目すると、 全ての $i \hspace{1mm}(\neq 1) $ に対して、 $L_{1}(x_{i}) = 0$ であることから、 因数定理によって、

ラグランジュ補間13

と表すことができる。ここで $\alpha_{1} $ は定数であるが、 $L_{1}(x_{1}) = 1$ であることにより、

ラグランジュ補間14

と求まる。以上から

ラグランジュ補間15

を得る。
  同様の計算を繰り返すことにより、任意の $j = 0,1,\cdots, n$ に対して、多項式 $L_{j}(x)$ が

ラグランジュ補間16

と求まる。 この式を総乗の記号 $\prod$ によって

ラグランジュ補間17

と表す。
  以上から、$n+1$ 個の点

ラグランジュ補間18

を通る $n$ 次多項式 $p(x)$ は、

ラグランジュ補間19

と表される。ここで $L_{j}(x)$ は、(1) によって定義される $n$ 次多項式である。
  このように定義される多項式関数 $p(x)$ によって、関数 $f(x)$ を近似すること、 すなわち、

ラグランジュ補間20

とすることをラグランジュの補間という。


補足
  ここでは、ラグランジュ補間を関数 $f(x)$ を近似する $n$ 次関数を与える方法として紹介したが、 単に $n+1$ 個の与えられた点を通過する $n$ 次関数を導出する公式と見なしてもよい。




ラグランジュ補間、一次補間の例
ラグランジュ補間、二次補間の例




ページのトップへ戻る