ニュートンの差分商補間公式の例題   3次補間  

最終更新 2018年 1月8日
  次の4点
を通る多項式をニュートンの差分商補間公式に従って導出する問題を解説する。

解説

ニュートンの補間公式 (一般)
ニュートンの差分商補間公式とは、 $n$ 個の点
を通る $n-1$ 次多項式 $f(x)$ を導出する公式である。
  これによると、 $f(x)$ は、
によって与えられる。 ここで $f[x_{i}, x_{i+1}]$ は、 $1$ 階の差分商であり、
と定義される。 また、 $k$ 階の差分商 $f[x_{i}, x_{i+1},\cdots,x_{i+k}]$ は、
と定義される。 ここで $ f[x_{i}, x_{i+1},\cdots,x_{k-1}] $ と $ f[x_{i+1}, x_{i+2},\cdots,x_{k}] $ は、 $k-1$ 階の差分商である。 このように高階の差分商は一つ下のの階数の差分商によって定義される。
ニュートンの補間公式 (4点の場合)
  $4$ 点
によって与えられるニュートンの補間公式は、$(1)$ から
ニュートンの差分商補間公式の例
である。 ここで $1$ 階の差分商は、$(2)$ から
であり、$2$ 階の差分商は、 $(2)$ から、
であり、$3$ 階の差分商は、
である。
解答
  4点が
である場合、$1$ 階の差分商は、$(5)$ から
であり、$2$ 階の差分商は、$(6)$ から
であり、$3$ 階の差分商は、$(7)$ から
である。 以上と補間公式 $(4)$ により、補間関数は
である ( 下図 ) 。
ニュートンの差分商補間公式の例の図00
補足
  この結果は、ラグランジュの補間公式によって求めた結果と一致する。 この一致は、偶然ではなく、$n$ 点を通る $n-1$ 次方程式が唯一つであるために、 どのような補間公式から求めたとしても同一の式になる。