線形補間と双線形補間 ~解説と具体例~

 
線形補間
  関数 $f(x)$ が $x=x_{1}$ と $x=x_{2}$ ($x_{1} \lt x_{2}$) の二点上では与えられているが、 二点の間の区間 $( x_{1}, \hspace{1mm} x_{2})$ では与えられていない場合に、 その区間での $f$ の値を $f(x_{1})$ と $f(x_{2})$ によって、
と与えることを線形補間という。
解説
  関数 $f(x)$ が $x=x_{1}$ と $x=x_{2}$ ($x_{1} \lt x_{2}$) の二点上では与えられているが、 区間 $( x_{1}, \hspace{1mm} x_{2})$ では与えられていないとする (下図) 。
このとき、その区間内の $x$、すなわち、
を満たす $x$ における $f$ の値が欲しいが、 そこでは真の値が与えられていないので、 仕方なく両端の点
を結ぶ直線上の点として $f(x)$ を与えることを考える。
  二点を結ぶ直線の方程式は、
$$ \tag{1} $$ である。ここで補間パラメータ $t$ を
と定義する。 $t$ は 区間 $(x_{1}, x_{2})$ の範囲において $t \in (0,1)$ であり、 $x$ の区間内での割合を表す。 これを用いると、 $(1)$ は
と表される。 書き換えると、
が得られる(下図)。
  このように、ある区間で関数 $f$ の値が与えられていないときに、 値が与えられている二点を結ぶ直線上の点として $f$ の値を与えることを 線形補間という。
  線形補間は理工学の観測データを解析する際にしばしば用いられる最も単純な補間方法である。
線形補間の例題
  関数 $f(x)$ の値が整数の上でのみ与えらえれている。 特に $x=13$ と $x=14$ のときには、
であるという。 このとき、 $x=13.4$ のときの $f(x)$ の値を線形補間によって与えよ。

解答
  上記の線形補間の解説と照らし合わせて考えると、
であり、これらより、$t$ が
と求められるので、 $x=13.4$ における線形補間値は、
である。 以上から関数 $f(x)$ の $x=13.4$ のときの値を線形補間によって与えると、
である。
双線形補間
  関数 $f(x,y)$ が四角形を成す四つの点
の上では与えられているが、 四角形で囲まれた領域
では与えられていないとする (下図)。
このとき、その領域内での $f$ の値を四点上での関数の値
を用いて、
と与えることを双線形補間という。
  双線形補間は線形補間を二次元拡張したものである。
解説
  四点のうちの二点
を結ぶ線分は $x$ 軸に平行である。 そこで、$x$ 座標についての線形補間を用いて二点間の線分上での $f$ の値を与えることを考える。 二点のそれぞれの上での $f$ の値は
である。また、線分上にある点は
$$ \tag{1} $$ とパラメータ $t$ によって表される。 したがって、線分上での $f$ の値を線形補間によって与えた結果を $\overline{f} (t,1)$ とすると、
$$ \tag{2} $$ である (下図) 。
  同じように、 四点のうちの二点
を結ぶ線分上の点は
$$ \tag{3} $$ と表され、 そこでの $f$ の値を線形補間を用いて与えた結果を $ \overline{f} (t,2) $ とすると、
$$ \tag{4} $$ である (下図) 。
  $(1)$ と $(3)$ の二点
を結ぶ線分は $y$ 軸に平行である。 そこで、 $y$ 座標についての線形補間を用いて二点間の線分上での $f$ の値を与えることを考える。 二点のそれぞれの上での $f$ の値は $(2)$ と $(4)$ である。 すなわち、
である。 また、二点間の線分上にある点は、
と表される。 したがって、 この点での $f$ の値を線形補間を用いて与えた結果を $ \overline{f} (t,s) $ とすると、
を得る。
  このように、双線形補間は $x$ 軸に沿った線形補間を行い、 その結果 ($(2)$ と $(4)$) を用いて、 $y$ 軸に沿った線形補間を行うと得られる。
  下の図は双線形補間によって与えられた $f$ の値をプロットした一例である。 境界上の各辺は直線を成し、内部では平面を捩った形が形成される。
双線形補間の例題
  下図は四つの画素から成る画像である。 各画素の中心には輝度値 (明るさの数値)が割り当てられている。 一方、画素の中心以外の位置には輝度値が割り当てられていないとする。
このとき、 上図の黄色い点の位置の輝度値を双線形補間によって与えよ。
解答
  はじめに、議論の便宜上
と置く。上図から分かるように、 四つの画素の中心の位置は
であり、 図の黄色い点の位置は、
である。 上記の線形補間の議論を参考にすると分かるように、 黄色い点の位置の補間パラメータ $t$ と $s$ を求めると、
である。 また、 それぞれの中心での輝度値は、
である。 以上から、黄色い点の位置の輝度値は、 双線形補間の公式 により、
と与えられる。