カイ二乗分布の性質
| 基礎 | |
|---|---|
| - | 定義 |
| - | 期待値 |
| - | 分散 |
| - | 和に関する再生性 |
| 他の分布との関係 | |
|---|---|
| - | 標準正規分布の二乗がカイ二乗分布 |
| - | 二乗和とカイ二乗分布 |
| - | 標本分散によるカイ二乗分布 |
| - | カイ二乗分布と F 分布 |
| - | 正規分布とカイ二乗分布による t 分布 |
定義
カイ二乗分布とは、確率分布 (確率密度関数) $p(x)$ が
$n$ を自由度といい、 確率変数 $X$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うことを
カイ二乗分布の図。
$n=2$ (青色)
$n=3$ (紫色)
$n=4$ (黄色)
$n=5$ (緑色)
$n=2$ (青色)
$n=3$ (紫色)
$n=4$ (黄色)
$n=5$ (緑色)
期待値
自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、
証明
自由度 $n$ のカイ二乗分布の確率密度関数 $p(x)$ は、
であるので、
期待値 $E(X)$ は、
である。ここで積分変数を $t = \frac{x}{2}$ と置くと、
と表せる。
右辺の積分はガンマ関数の定義から
である。したがって、
である。ガンマ関数の性質により、
であるので、
を得る。
自由度 $n$ のカイ二乗分布の確率密度関数 $p(x)$ は、
分散
自由度 $n$ のカイ二乗分布に従う確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ は、
証明
一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。
また、カイ二乗分布の期待値は、
であるので、
$$
\tag{1}
$$
と表される。
したがって、
二乗期待値 $E(X^2)$ を求まれば、
分散 $V(X)$ が求まる。
$X$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うので、 確率密度関数 $p(x)$ は、
である。
したがって、
二乗期待値 $E(X^2)$ は、
である。ここで積分変数を $t = \frac{x}{2}$ と置くと
と表せる。
右辺の積分はガンマ関数の定義から
である。したがって、
である。
ガンマ関数の性質により、
であるので、
である。
これと $(1)$ から、
を得る。
一般に分散は二乗期待値と期待値の二乗の差である。
$X$ が自由度 $n$ のカイ二乗分布に従うので、 確率密度関数 $p(x)$ は、
これと $(1)$ から、
和に関する再生性
確率変数 $X$ と $Y$ がそれぞれ
自由度 $m$ と $n$ のカイ二乗分布に従うとき、
$X$ と $Y$ が独立であるならば、
和 $X+Y$ は自由度 $m+n$ のカイ二乗分布に従う。
すなわち、
証明
確率変数 $X$ と $Y$ がそれぞれ自由度 $m$ と $n$ の カイ二乗分布に従うとする。 すなわち、
$$
\tag{1}
$$
であるとする。
また、確率変数 $Z$ を
$$
\tag{2}
$$
と定義する。
$Z$ の従う確率密度関数を $P_{Z}(z)$ と表すとき、 $Z$ の値が $a$ から $b$ の間に観測される確率 $\mathrm{Pr} ( \hspace{1mm} a \leq Z \leq b \hspace{1mm})$ は、
$$
\tag{3}
$$
である。
一方で、 $(2)$ より、
であるので、
$$
\tag{4}
$$
が成り立つ。
右辺は、確率変数 $X$ と $Y$ が直線
$
Y = a-X
$
と直線
$
Y =b-X
$
に挟まれた領域(下図)の中の値として観測される確率である。
従って、
この領域を $D$ とすると、
$(4)$ の右辺の確率を
$X$ と $Y$ の同時確率密度関数
$
P_{X,Y} (x,y)
$
によって、
$$
\tag{5}
$$
と表せる。
ここで三つめの等号では、領域 $D$ に渡る積分が
$y$ について $a-x$ から $b-x$ まで積分した後、
$x$ について $-\infty$ から $+\infty$ まで積分する二重積分であることを用いた。
以上の $(3) (4) (5)$ により、
となるが、
$X$ と $Y$ は互いに独立な確率変数であるので、
が成り立つことから
($ P_{X}(x)$ と $ P_{Y}(y)$ はそれぞれ$X$ と $Y$ の従う確率密度関数)、
である。
$
z = x+y
$
と置換すると、
であるので、
と表せる。
$P_{X}(x)$ と $P_{Y}(z-x)$ は カイ二乗分布の確率密度関数 であるので、
が成り立つ。これより、$x$ についての積分が
と表せるので、
となる。
両辺を $b$ で微分し、$b=z$ とすると、
を得る。
$(1)$ より、$X$ と $Y$ のそれぞれの確率密度関数は、
であるから、
である。ここで $u=\frac{x}{z}$ と置換すると、
であるので、
$$
\tag{6}
$$
を得る。
3番目と4番目の等号ではベータ関数の定義と性質
を用いた。
$(6)$ の右辺は自由度 $m+n$ のカイ二乗分布の確率密度関数である。 したがって、
である。
確率変数 $X$ と $Y$ がそれぞれ自由度 $m$ と $n$ の カイ二乗分布に従うとする。 すなわち、
$Z$ の従う確率密度関数を $P_{Z}(z)$ と表すとき、 $Z$ の値が $a$ から $b$ の間に観測される確率 $\mathrm{Pr} ( \hspace{1mm} a \leq Z \leq b \hspace{1mm})$ は、
一方で、 $(2)$ より、
以上の $(3) (4) (5)$ により、
$P_{X}(x)$ と $P_{Y}(z-x)$ は カイ二乗分布の確率密度関数 であるので、
両辺を $b$ で微分し、$b=z$ とすると、
$(1)$ より、$X$ と $Y$ のそれぞれの確率密度関数は、
$(6)$ の右辺は自由度 $m+n$ のカイ二乗分布の確率密度関数である。 したがって、
標準正規分布の二乗がカイ二乗分布
確率変数 $X$ が標準正規分布
$
N(0, 1)
$
に従うとき、
$
Y = X^{2}
$
によって定義される確率変数 $Y$ は自由度 $1$ のカイ二乗に従う。
すなわち、
証明
確率変数 $X$ が標準正規分布に従うとする。 すなわち、
$$
\tag{1}
$$
とし、
確率変数 $Y$ を
$$
\tag{2}
$$
と定義する。
$Y$ の確率密度関数を $P_{Y} (y)$ と表すと、 $Y$ が区間 $a \leq Y \leq b$ の間に観測される確率 $\mathrm{Pr} (a \leq Y \leq b) $ は、
$$
\tag{3}
$$
である。
一方で、$(2)$ より、
であるので、
$$
\tag{4}
$$
が成り立つ。
ここで $P_{X}(x)$ は $X$ の確率密度関数であり、
$(1)$ より、
である。
これと $(3)$ より、
と表せる。
右辺の第一項の積分に対し、 $t = x^2$ $(x \leq 0)$ と置き、 第二項の積分に対しては、$u = x^2$ ($x \geq 0$) と置くと、
であるので、
となる。両辺を $b$ で微分し、$b=y$ と置くことにより、
を得る。
右辺は、自由度 $1$ のカイ二乗分布の確率密度関数である。
二つ目の等号で $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ を用いた。
以上から、 標準正規分布に従う確率変数 $X$ の二乗 $X^2$ は、 自由度 $1$ の カイ二乗分布に従う。 すなわち、
が成り立つ。
確率変数 $X$ が標準正規分布に従うとする。 すなわち、
$Y$ の確率密度関数を $P_{Y} (y)$ と表すと、 $Y$ が区間 $a \leq Y \leq b$ の間に観測される確率 $\mathrm{Pr} (a \leq Y \leq b) $ は、
右辺の第一項の積分に対し、 $t = x^2$ $(x \leq 0)$ と置き、 第二項の積分に対しては、$u = x^2$ ($x \geq 0$) と置くと、
以上から、 標準正規分布に従う確率変数 $X$ の二乗 $X^2$ は、 自由度 $1$ の カイ二乗分布に従う。 すなわち、
標本正規分布の二乗和とカイ二乗分布
確率変数 $X_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ が標準正規分布
$
N(0, 1)
$
に従うとき、
カイ二乗分布と $F$ 分布
確率変数 $X$ と $Y$ が
正規分布とカイ二乗分布に従う確率変数による $t$ 分布
確率変数 $X$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、
確率変数 $Y$ がカイ二乗分布 $\chi^2(n)$ に従うとき、
これらから定義される確率変数 $Z = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ は、
自由度 $n$ の $t$ 分布に従う。
すなわち、
