期待値と分散の公式

最終更新 2018年 1月3日
  期待値と分散の満たす基本的な性質を以下に記す。
目次
- 和の期待値
- 定数倍の期待値
- 定数を加えた期待値
- 期待値の一般的性質
- 和の分散
- 定数倍の分散
- 定数を加えた分散
- 分散の一般的性質
- 分散と期待値および二乗期待値の関係
- 独立な確率変数の積の期待値
- 独立な確率変数の和の分散
和の期待値
  確率変数 $X$ と $Y$ の和 $X+Y$ の期待値は、 それぞれの期待値の和に等しい。 すなわち、
期待値の加法性
が成立する。 これを期待値の加法性と呼ぶ。
定数倍の期待値
    確率変数 $X$ の定数 $c$ 倍の期待値は、 $X$ の期待値の $c$ 倍に等しい。 すなわち、
定数倍の期待値
が成立する。
定数を加えた期待値
  確率変数 $X$ に定数 $t$ を加えた $X + t$ の期待値は、 もとの期待値に $t$ を加えたものに等しい。 すなわち、
定数を加えた期待値
が成立する。
期待値の一般的性質
  以上の性質から、 確率変数 $cX+dY+t$ の期待値は、
期待値の一般的性質
を満たす。
和の分散
  確率変数の和 $X+Y$ の分散は、 それぞれの分散に等しくなく、 共分散の二倍だけことなる。 すなわち、
和の分散
が成立する。 これを分散の非加法性と呼ぶ。
定数倍の分散
  確率変数 $X$ の定数 $c$ 倍の分散は、 $X$ の分散の $c^2$ 倍に等しい。 すなわち、
定数倍の分散
が成立する。
定数を加えた分散
  確率変数 $X$ に定数 $t$ を加えた $X + t$ の分散は、 もとの分散に等しい。 すなわち、
定数を加えた分散
が成立する。
分散の一般的性質
  以上の性質から、 確率変数 $cX+t$ の分散は、
分散の一般的性質
を満たす。 ただし、 一般に加法性は満たされない。
分散と期待値および二乗期待値の関係
  確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ の間には
分散と期待値および二乗期待値の関係
の関係が成立する。 ここで $E(X^2)$ は二乗期待値である。
独立な確率変数の積の期待値
  独立な確率変数 $X$ と $Y$ の積 $XY$ の期待値は、 それぞれの期待値の積に等しい。すなわち、
独立な確率変数の積の期待値
が成立する。
独立な確率変数の和の分散
  互いに独立な確率変数 $X$ と $Y$ の和 $X+Y$ の分散は、 それぞれの分散の和に等しい。 すなわち、
独立な確率変数の和の分散
が成立する。