ガンマ関数の満たす性質

最終更新 2017年 3月21日
ガンマ関数の定義
  正の数 $s$ に対して
ガンマ関数
によって定義される $s$ の関数をガンマ関数という。
  より正確には、$0 < r < R$ に対して、 次の積分
の、$r \rightarrow 0$ かつ $R \rightarrow \infty$ の極限として定義される。 すなわち、
と定義される。
ガンマ関数の収束
  ガンマ関数
ガンマ関数の収束
は収束する。
ガンマの 1/2   $\Gamma (1/2)$
  $Γ(1/2)$ の値は
ガンマ関数1/2
である。

証明
  定義より
である。 $x^{\frac{1}{2}} = s$ と置くと、$e^{-x} x^{-\frac{1}{2}}= e^{-s^2} s^{-1}$、 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = 2s $ であるので、
と表せる。右辺の積分は、ガウス積分の公式によって、
である。よって
を得る。

ガンマの 1   $\Gamma (1)$
  $Γ(1)$ の値は \begin{eqnarray} \Gamma(1) = 1 \end{eqnarray} である。

証明
  定義より、
ガンマ関数の1
である。

ガンマ関数の漸化式
  ガンマ関数は、 正の実数 $s$ に対して
ガンマ関数の漸化式
を満たす。

証明
  部分積分によって
と証明される。

ガンマ関数は階乗の一般化
$s$ が正の整数 $n$ の場合、
ガンマ関数は階乗の一般化
が成り立つ。 これより、ガンマ関数は階乗の一般化と見なされる。

証明
  ガンマ関数の漸化式を繰り返し用いると、
ガンマ関数は階乗の一般化
と表せる。
  上で示したように $\Gamma(1) = 1$ であるので、
ガンマ関数は階乗の一般化
である。

ガンマ関数は正
  $s>0$ の範囲でガンマ関数は正である。 すなわち
ガンマ関数は正
が成り立つ。

証明
  ガンマ関数を定義する非積分関数が積分領域において正であるので、 すなわち、
であるので、 ガンマ関数は正である。