ガンマ関数の満たす性質

最終更新 2017年 2月25日

  ガンマ関数の定義

  正の数 $s$ に対して
ガンマ関数
によって定義される $s$ の関数をガンマ関数という。
  より正確には、$0 < r < R$ に対して、 次の積分
の、$r \rightarrow 0$ かつ $R \rightarrow \infty$ の極限として定義される。 すなわち、
と定義される。

  ガンマ関数の収束

  ガンマ関数
ガンマ関数の収束
は収束する。
ガンマ関数の収束の証明はこちら

  ガンマ関数は正

  上のように定義されるガンマ関数は正である。 すなわち
ガンマ関数は正
が成り立つ。
  (証明) ガンマ関数を定義する非積分関数が積分領域において正であるので、 すなわち、
であるので、 ガンマ関数は正である。

 階乗の一般化

  次の性質からガンマ関数は、 階乗の一般化と見なされる。 すなわち、 正の実数 $s$ に対して
ガンマ関数の漸化式
を満たす。
  正の整数 $n$ に対して
ガンマ関数は階乗の一般化
を満たす。
階乗の一般化の証明はこちら

 ガンマの 1/2   $\Gamma (1/2)$

  $Γ(1/2)$ の値は $\sqrt{\pi}$ である。すなわち
ガンマ関数1/2
である。
ガンマ (1/2) の証明はこちら