点と直線の距離

  位置ベクトル $\mathbf{x}$ を持つ3次元空間の点 $X$ と、直線

点と直線の距離00
との間の距離 $d$ は、

点と直線の距離01

である。 ここで、$\mathbf{x}_{0}$ と $\mathbf{m}$ は、それぞれ直線上の一点の座標ベクトルと直線の方向ベクトルであり、 $\mathbf{m}$ の大きさを $1$ ($\|\mathbf{m}\|=1$) としている。 また、$t$ は直線のパラメータである。
最終更新 2016年 3月19日


  証明

  原点を $O$ とし、位置 $\mathbf{x}_{0}$ にある直線上の点を $X_{0}$ とする。 また、位置 $\mathbf{x}$ にある任意の点を $X$ とし、直線上への射影点(垂線の足)を $P$ とする。

点と直線の距離02

$P$ の位置を $\mathbf{p}$ と表すと、

点と直線の距離02
であり、 $\mathbf{p}$ は、

点と直線の距離03
と表せる。
  点 $X$ と直線の距離 $d$ は、点 $X$ と直線上への垂線の足 $P$ との間の距離であるので、$(2)$ から

点と直線の距離04

である。
  $(3)$ の $\overrightarrow{X_{0}P}$ は、直線に沿ったベクトルであり、 $X_{0}$ から $X$ に向かうベクトル $\overrightarrow{X_{0}X}$ の直線上への射影である。 $\overrightarrow{X_{0}P}$ と直線の成す角を $\theta$ とすると、このベクトルは、長さが

点と直線の距離05

で、方向が $\mathbf{m}$ のベクトルである。 すなわち、

点と直線の距離06

である。 一方で、内積とコサインとの関係から、

点と直線の距離07

が成立するので ($\| \mathbf{m} \| =1$)、

点と直線の距離10
と表せる。
  以上、$(3)$ と $(4)$ から、$d^2$ は、

点と直線の距離11

である。 ここで、$(1)$ から

点と直線の距離12
と表せるので、

点と直線の距離13

である。 ゆえに、

点と直線の距離14
を得る。








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