2行2列の逆行列

解説
  $2$ 次の正方行列 の行列式が $0$ でないとする。 すなわち、 $$ \tag{1.2} $$ とする( 2行2列の行列式を参考)。 この場合、 $A$ には 逆行列が存在する。
  $A$ の逆行列を $A^{-1}$ と表す。 このとき、 次の定理が知られている。 すなわち、 $A^{-1}$ は $A$ の行列式の逆数 $\frac{1}{|A|}$ と余因子行列の積に等しい 。 式で表すと、 $$ \tag{1.3} $$ である。 ここで、 $\tilde{A}$ は $A$ の余因子行列である。
  $\tilde{A}$ は次のように定義される。 まず行列 $A$ から $i$ 行 と $j$ 列を取り除いた小行列を $M_{ij}$ とする。 すなわち とする。このとき $M_{ij}$ の行列式はそれぞれ である。 余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分はこれらにより、 と定義される(添え字の順序に注意)。 各成分で表すと、 である。 行列で表すと、 $$ \tag{1.4} $$ である。
  $(1.2)$ $(1.3)$ $(1.4)$ より 逆行列 $A^{-1}$ は、 である。

解答例
  $(1.1)$ 式から求める。 とすると、 であるので、 である。
  続いて とすると、 であるので、