余因子行列の定義・例・性質

最終更新 2019年 4月30日

	目次
-	例: 2行2列
-	例: 3行3列
-	例: 4行4列
-	定義
-	逆行列の導出
-	余因子行列の行列式

例: 2行2列

$2$ 次の正方行列

の余因子行列は、

である。

解答例
$2 \times 2$ の行列

の余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、定義より、

である(添え字の順序に注意)。ここで $M_{ji}$ は行列 $A$ から $j$ 行と $i$ 列を取り除いた小行列

である。これらの行列式はそれぞれ

であるので、余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は、

である。行列で表すと、

である。

具体例:
行列

の余因子行列 $\tilde{A}$ は

である。

計算機
下の入力フォームに値を入力し、「実行」ボタンを押してください。余因子行列が表示されます。

余因子行列 3行3列の場合

$3$ 行 $3$ 列の正方行列

の余因子行列 $\tilde{A}$ は、

である。

解答例
$3 \times 3$ の行列

の余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は、定義より、

である(添え字の順序に注意)。ここで $M_{ji}$ は、行列 $A$ から $j$ 行と $i$ 列を取り除いた小行列

である。これらの行列式は、

である (2行2列の行列式を参考) ので、余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は、

である。

である。

具体例:
行列

の余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は

である。行列で表すと

計算機
下の入力フォームに値を入力し、「実行」ボタンを押してください。余因子行列が表示されます。

もとの行列 $A$

	1列	2列	3列
1行
2行
3行

余因子行列 $\tilde{A}$

	1列	2列	3列
1行
2行
3行

余因子行列 4行4列の場合

次の正方行列

の余因子行列を求めよ。

証明
行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は定義より、

である (添え字の順序に注意)。ここで $M_{ji}$ は行列 $A$ から $j$ 行と $i$ 列を取り除いた小行列

である。これらの行列式は、

である (3行3列の行列式を参考)ので、余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は、

である。

計算機
下の入力フォームに値を入力し、「実行」ボタンを押してください。余因子行列が表示されます。

余因子行列の定義

$n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ と表し、 $A$ から $i$ 行と $j$ 列のみを取り除いた行列を小行列 $M_{ij}$ とする。すなわち、

とする。
これにより 余因子行列 $\tilde{A}$ の $i$ 行 $j$ 列成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、

と定義される（添え字の順番に注意）。ここで $|M_{ji}|$ は小行列 $M_{ji}$ の行列式である。余因子行列を行列の形で表すと、

である。

逆行列の導出

行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積は、$A$ の行列式と単位行列 $I$ の積に等しい。すなわち、

が成り立つ (証明は余因子行列と行列式の関連性を参考)。
$|A| \neq 0$ である場合、

であるので、 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は

である (逆行列の定義を参考) 。このように逆行列は余因子行列と行列式から求められる。この方法で逆行列を求める例については、以下のリンクを参考。

3x3 の逆行列の導出
4x4 の逆行列の導出

余因子行列の行列式

$n \times n$ の行列 $A$ の余因子行列 $ \tilde{A} $ の行列式 $|\tilde{A}|$ は、

である。ただし $|A| \neq 0$ とした。

証明
「積の行列式の性質」と「余因子行列と逆行列との関係」と「定数倍の行列式の性質」から、

が成り立つ。 $|A| \neq 0$ であるので、

である。

余因子行列の定義・例・性質

関連リンク

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