余因子行列と定義と例、および重要な性質

最終更新 2018年 1月3日
目次
- 2行2列の場合
- 3行3列の場合
- 4行4列の場合
- 余因子行列と行列式
- 定義
余因子行列  2行2列の場合
  $2$ 次の正方行列
の余因子行列は、
2行2列の余因子行列
である。
余因子行列   3行3列の場合
  $3$ 行 $3$ 列の正方行列
の余因子行列 $\tilde{A}$ は、
3行3列の余因子行列
である。
余因子行列   4行4列の場合
  次の正方行列
の余因子行列を求めよ。
余因子行列と行列式
  行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積は、$A$ の行列式と単位行列の積に等しい。 すなわち、
余因子行列と行列式
が成立する。
余因子行列の定義
  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ と表し、 $A$ から $i$ 行と $j$ 列のみを取り除いた行列を小行列 $M_{ij}$ とする。すなわち、
とする。
  これにより 余因子行列 $\tilde{A}$ の $i$ 行 $j$ 列成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、
余因子行列の定義
と定義される(添え字の順番に注意)。ここで $|M_{ji}|$ は、小行列 $M_{ji}$ の行列式である。余因子行列を行列の形で表すと、
余因子行列
である。