余因子行列 ~ 具体例と性質 ~
例: 2行2列
$2$ 次の正方行列
の余因子行列は、
である。
解答例
$2 \times 2$
の行列
の余因子行列
$\tilde{A}$
の各成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、
定義より、
である(添え字の順序に注意)。
ここで $M_{ji}$ は
行列 $A$ から $j$ 行 と $i$ 列を取り除いた小行列
である。
これらの行列式はそれぞれ
であるので、
余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分は、
である。
行列で表すと、
である。
具体例:
行列
の余因子行列 $\tilde{A}$ は
である。
計算機
下の入力フォームに値を入力し、
「
実行」ボタンを押してください。
余因子行列が表示されます。
余因子行列の定義
$n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列成分を $a_{ij}$ と表し、
$A$ から $i$ 行と $j$ 列のみを取り除いた行列を小行列 $M_{ij}$ とする。
すなわち、
とする。
これにより
余因子行列 $\tilde{A}$ の $i$ 行 $j$ 列成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、
と定義される(添え字の順番に注意)。
ここで $|M_{ji}|$ は小行列 $M_{ji}$ の行列式である。余因子行列を行列の形で表すと、
である。
逆行列の導出
行列 $A$ とその余因子行列 $\tilde{A}$ の積は、$A$ の行列式と単位行列 $I$ の積に等しい。
すなわち、
が成り立つ
(証明は
余因子行列と行列式の関連性を参考)。
$|A| \neq 0$ である場合、
であるので、
$A$ の逆行列 $A^{-1}$ は
である (
逆行列の定義を参考) 。
このように逆行列は余因子行列と行列式から求められる。
この方法で逆行列を求める例については、
以下のリンクを参考。
3x3 の逆行列の導出
4x4 の逆行列の導出
余因子行列の行列式
$n \times n$ の行列 $A$ の余因子行列 $ \tilde{A} $ の行列式 $|\tilde{A}|$ は、
である。
ただし $|A| \neq 0$ とした。