円柱座標系での場の表現  

最終更新 2017年 9月25日  

円柱座標の定義

  デカルト座標 $(X, Y, Z)$ と円柱座標 $(r, \theta, \phi)$ の対応関係は、
円柱座標系の定義
である。ここで、 $r \geq 0$ かつ $0 \leq \theta < 2\pi$ である。
  この関係から、 円柱座標系での勾配、発散、回転、ラプラシアン等を導出することが出来る。

  円柱座標系の勾配 (Gradient)

  円柱座標の関数の $f$ の勾配 $\nabla f$ は、
円柱座標系の勾配
と表される。
  ここで $\{ \mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{z} \}$ は円柱座標系の基底ベクトルである。
円柱座標系の勾配の導出はこちら

  円柱座標系の発散 (Divergence)

  円柱座標で表したベクトル場 $\mathbf{E}$ の発散 $\nabla \cdot \mathbf{E}$ は、
円柱座標系の発散
である。
  ここで $(E_{r}, E_{\theta}, E_{\phi})$ は、 $\mathbf{E}$ の円柱座標成分である。
円柱座標系の発散の導出はこちら

  円柱座標系のラプラシアン (Laplacian)

  円柱座標で表したラプラシアンは、
円柱座標系のラプラシアン
である。
円柱座標系のラプラシアンの導出はこちら

  円柱座標系の回転 (Rotation)

  円柱座標系で表されたベクトル場 $\mathbf{E}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{E}$ は、
円柱座標系の回転 rotation rot
である。
  ここで $\{\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi} \}$ は円柱座標の基底ベクトルである。
円柱座標系の回転の導出はこちら

  円柱座標系の基底ベクトル

  円柱座標系の基底ベクトル $\{ \mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{\phi} \}$ は、 デカルト座標系(XYZ座標系)の基底ベクトル $\{ \mathbf{e}_{x}, \mathbf{e}_{y}, \mathbf{e}_{z} \}$ によって、
円柱座標系の基底ベクトル
と表される。
  反対に、 デカルト座標系の基底ベクトルは、 円柱座標系の基底ベクトルによって、
円柱座標系の基底ベクトルとデカルト座標系の基底ベクトルの対応
と表される。
円柱座標系の基底ベクトルの証明はこちら