関数の和の極限・積の極限・商の極限

最終更新 2019年 1月 4日

	目次
-	関数の極限
-	和の極限
-	補題1
-	積の極限
-	補題2
-	商の極限

関数の極限とは

関数の極限を表す記号

とは、次の命題が成り立つことを表している。
すなわち、任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta$ が存在し、

$$ \tag{1} $$ を満たす全ての $x$ に対して

$$ \tag{2} $$ が成り立つ (下図)。

$\epsilon$ は任意の正の数であるので、 $(2)$ の幅は幾らでも小さく考えてもよい。そういう意味で関数の極限は次のように解釈できる。すなわち、関数 $f(x)$ の値を $\alpha$ を中心とするどんな小さな幅の中にも収めることができる $x$ の区間が $a$ の近傍に必ずある。
$(1)$ と $(2)$を書き直すと、それぞれ

であるので、極限の定義を論理記号を用いて、

と表すことができる。ここで $\forall$ は「任意の」を表し、$\exists$ は「存在する」を表す。
この性質を満たす $\alpha$ を関数 $f(x)$ の $x \rightarrow a$ における 極限(値)という。

和の極限

関数の和の極限は、それぞれの極限値の和に等しい。すなわち、

が成り立つ。

証明
はじめに

であるとすると、極限の定義より任意の正の $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、ある正の数 $\delta_{f}$ と $\delta_{g}$ が存在し、 $|x-a| < \delta_{f}$ であるならば

$$ \tag{1} $$ が成り立ち、 $|x-a| < \delta_{g}$ であるならば、であるならば

$$ \tag{2} $$ が成り立つ。
したがって、

と $\delta$ を定義すると、 $|x-a| < \delta $ であるならば、 $|x-a| < \delta_{f} $ かつ $|x-a| < \delta_{g} $ であるので、 $(1)$ と $(2)$ と三角不等式により、

$$ \tag{3} $$ が成り立つ。
ここで $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、 $(3)$ は

$$ \tag{4} $$ の場合でも成り立つ。すなわち、 $(4)$ で定義された $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、 $(3)$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する。
ゆえに、 $|x-a|<\delta$ であるならば、

が成り立つ正の数 $\delta$ が存在する。したがって \begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow a} (f(x) + g(x)) = \alpha + \beta \end{eqnarray} である。

積の極限

関数の積の極限は、それぞれの極限値の積に等しい。すなわち、

が成り立つ。

証明

であるとすると、極限の定義より任意の正の $\epsilon_{f}$ に対して、ある正の数 $\delta_{f}$ が存在し、 $|x-a|<\delta_{f}$ であるならば、

$$ \tag{1} $$ が成り立つ。 $(1)$ は

と表されるので、 $|f(x)|$ は $|\alpha + \epsilon_{f}|$ よりも小さいか、 $|\alpha - \epsilon_{f}|$ よりも小さいかのどちらかである。したがって、これらのうちの大きい方を $M$ と定義すると、すなわち、

とすると、

$$ \tag{2} $$ が成り立つ。
一方、

であるとすると、極限の定義より任意の正の $\epsilon_{g}$ に対して、ある正の数 $\delta_{g}$ が存在し、 $|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、

$$ \tag{3} $$ が成り立つ。
したがって、

と $\delta$ を定義すると、 $|x-a| < \delta$ であるならば、 $|x-a| < \delta_{f}$ かつ $|x-a| < \delta_{g}$ であるので、 $(1)$ $(2)$ $(3)$ と三角不等式により、

$$ \tag{4} $$ が成り立つ。
$\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、 $(4)$ は

$$ \tag{5} $$ の $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対しても成り立つ。すなわち、 $(5)$ で定義された $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、 $(4)$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する (ここで $\beta\neq 0$ としたが、 $\beta=0$ の場合には $\epsilon_{g}$ を任意の正の値とする)。
ゆえに、 $|x-a|<\delta$ であるならば、任意の正の数 $\epsilon$ に対して

が成り立つ正の数 $\delta$ が存在する。よって、

である。

商の極限

関数の商の極限は、それぞれの極限値の商に等しい。すなわち、

が成り立つ。ただし、$\beta \neq 0$ とする。

証明
$\beta \neq 0$ とする。

が成り立つとすると、極限の定義より、任意の正の $\epsilon_{g}$ に対して、ある正の数 $\delta_{g}$ が存在し、 $|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、

$$ \tag{1} $$ が成り立つ。 $(1)$ は

と表されるので、 $|g(x)|$ は $|\beta - \epsilon_{g}|$ よりも大きいか、 $|\beta + \epsilon_{g}|$ よりも大きいかのどちらかである。したがって、これらのうちの小さい方を $L$ と定義すると、すなわち、

とすると、

$$ \tag{2} $$ が成り立つ。
これらを踏まえて初めに

を証明する。 $|x-a| < \delta_{g}$ を満たす $x$ には、 $(1)$ と $(2)$ より、

$$ \tag{3} $$ が成り立つ。 $\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、

$$ \tag{4} $$ の場合でも $(3)$ は成り立つ。すなわち、 $(4)$ で定義された $\epsilon_{g}$ に対して、 $(3)$ を成り立たせる正の数 $\delta_{g}$ が存在する
ゆえに、 $|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、任意の正の数 $\epsilon$ に対して