関数の和の極限・積の極限・商の極限
最終更新 2019年 3月 18日
関数の極限とは
関数の極限を表す記号
とは、次の命題が成り立つことを表している。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
ある正の数 $\delta$ が存在し、
$$
\tag{1}
$$
を満たす全ての $x$ に対して
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ (下図)。
$\epsilon$ は任意の正の数であるので、
$(2)$ の幅は幾らでも小さく考えてもよい。
そういう意味で関数の極限は次のように解釈できる。
すなわち、関数 $f(x)$ の値を
$\alpha$ を中心とするどんな小さな幅の中にも収めることができる
$x$ の区間が $a$ の近傍に必ずある。
$(1)$ と $(2)$を書き直すと、それぞれ
であるので、
極限の定義を論理記号を用いて、
と表すことができる。
ここで $\forall$ は「任意の」を表し、$\exists$ は「存在する」を表す。
この性質を満たす $\alpha$ を関数 $f(x)$ の $x \rightarrow a$ における
極限(値)という。
和の極限
関数の和の極限は、それぞれの極限値の和に等しい。
すなわち、
が成り立つ。
証明
はじめに
であるとすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{f}$ と $\delta_{g}$ が存在し、
$|x-a| < \delta_{f}$
であるならば
$$
\tag{1}
$$
が成り立ち、
$|x-a| < \delta_{g}$ であるならば、
であるならば
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ。
したがって、
と $\delta$ を定義すると、
$|x-a| < \delta $ であるならば、
$|x-a| < \delta_{f} $ かつ $|x-a| < \delta_{g} $ であるので、
$(1)$ と $(2)$ と
三角不等式により、
$$
\tag{3}
$$
が成り立つ。
ここで
$\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、
$(3)$ は
$$
\tag{4}
$$
の場合でも成り立つ。
すなわち、
$(4)$ で定義された $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、
$(3)$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する。
ゆえに、
$|x-a|<\delta$ であるならば、
が成り立つ正の数 $\delta$ が存在する。
したがって
\begin{eqnarray}
\lim_{x \rightarrow a} (f(x) + g(x)) = \alpha + \beta
\end{eqnarray}
である。
積の極限
関数の積の極限は、それぞれの極限値の積に等しい。
すなわち、
が成り立つ。
証明
であるとすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{f}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{f}$ が存在し、
$|x-a|<\delta_{f}$ であるならば、
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ。
$(1)$ は
と表されるので、
$|f(x)|$ は $|\alpha + \epsilon_{f}|$ よりも小さいか、
$|\alpha - \epsilon_{f}|$ よりも小さいかのどちらかである。
したがって、これらのうちの大きい方を $M$ と定義すると、
すなわち、
とすると、
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ。
一方、
であるとすると、
極限の定義より
任意の正の $\epsilon_{g}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{g}$ が存在し、
$|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、
$$
\tag{3}
$$
が成り立つ。
したがって、
と $\delta$ を定義すると、
$|x-a| < \delta$ であるならば、
$|x-a| < \delta_{f}$ かつ $|x-a| < \delta_{g}$ であるので、
$(1)$ $(2)$ $(3)$ と
三角不等式により、
$$
\tag{4}
$$
が成り立つ。
$\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、
$(4)$ は
$$
\tag{5}
$$
の $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対しても成り立つ。
すなわち、
$(5)$ で定義された $\epsilon_{f}$ と $\epsilon_{g}$ に対して、
$(4)$ を成り立たせる正の数 $\delta$ が存在する
(ここで
$\beta\neq 0$ としたが、
$\beta=0$ の場合には $\epsilon_{g}$ を任意の正の値とする)。
ゆえに、
$|x-a|<\delta$ であるならば、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して
が成り立つ正の数 $\delta$ が存在する。
よって、
である。
商の極限
関数の商の極限は、それぞれの極限値の商に等しい。
すなわち、
が成り立つ。
ただし、$\beta \neq 0$ とする。
証明
$\beta \neq 0$ とする。
が成り立つとすると、
極限の定義より、
任意の正の $\epsilon_{g}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{g}$ が存在し、
$|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、
$$
\tag{1}
$$
が成り立つ。
$(1)$ は
と表されるので、
$|g(x)|$ は $|\beta - \epsilon_{g}|$ よりも大きいか、
$|\beta + \epsilon_{g}|$ よりも大きいかのどちらかである。
したがって、
これらのうちの小さい方を $L$ と定義すると、
すなわち、
とすると、
$$
\tag{2}
$$
が成り立つ。
これらを踏まえて初めに
を証明する。
$|x-a| < \delta_{g}$ を満たす $x$ には、
$(1)$ と $(2)$ より、
$$
\tag{3}
$$
が成り立つ。
$\epsilon_{g}$ は任意の正の数であるので、
$$
\tag{4}
$$
の場合でも $(3)$ は成り立つ。
すなわち、
$(4)$ で定義された $\epsilon_{g}$ に対して、
$(3)$ を成り立たせる正の数 $\delta_{g}$ が存在する
ゆえに、
$|x-a|<\delta_{g}$ であるならば、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して
が成り立つ正の数 $\delta_{g}$ が存在する。
よって、
$$
\tag{5}
$$
である。
続いて
を証明する。
$(5)$ において
$\frac{1}{g(x)} = h(x)$ とすると、
である。
ここで
が成り立つとすると、
関数の積の極限の性質より、
である。
$\frac{1}{g(x)} = h(x)$ であったので、
である。
