半正定値行列の性質

最終更新 2019年 10月14日
半正定値行列の定義
  任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 実対称行列 $P$ が
半正定値行列の定義
を満たすとき、 $P$ を半正定値行列 (positive semi-definite matrix) という。 ここで $(\cdot, \cdot)$ は内積を表す記号である。
具体例
  行列
半正定値行列である。

証明
  任意のベクトル
に対して、
が成り立つので、 $P$ は半正定値行列である。

  半正定値行列の固有値
  $P$ を半正定値行列、 $\lambda$ を $P$ の固有値、 $\mathbf{x}_{\lambda}$ を固有値 $\lambda$ を持つ固有ベクトルとするとき、 すなわち、
とするとき、
半正定値行列の固有値
である。
  つまり、 半正定値行列の固有値は $0$ 以上である。

証明
  $P$ を半正定値行列とする。 どんな正方行列にも固有値と固有ベクトルが存在するので、
を満たす のベクトル $\mathbf{x}_{\lambda}$ ($\mathbf{x}_{\lambda} \neq 0$) と複素数 $\lambda$ が存在する。
  $P$ が半正定値行列であるから、
が成り立つ。
  左辺を書き直すと、
となるので、
が成り立つ。
  最後に $\| \mathbf{x}_{\lambda} \|^{2} \neq 0$ であるので、
を得る。

  半正定値行列の分解
  任意の半正定値行列 $P$ は、 正方行列 $Q$ とその転置行列 $Q^{T}$ によって、
半正定値行列の分解
と分解することが出来る。

証明
  $P$ を $n$ 次の半正定値行列とし、 $P$ の固有値を $\lambda_{i}$ $(i=1,2,\cdots,n)$ と表す。 ただし、大きい順に
と並んでいるものとする。 一般に 半正定値行列の固有値は $0$ 以上であるので、 大きい方から $r$ 番目までの固有値が $0$ より大きいとし、 それ以降の固有値が $0$ であるとする。 すなわち、
$$ \tag{1} $$ とする。 このとき、 固有値 $\lambda_{i}$ の規格化された固有ベクトルを $\mathbf{p}_{i}$ とすると、
$$ \tag{2} $$ が成り立ち、 実対称行列の異なる固有値の固有ベクトルが互いに直交することから、
$$ \tag{3} $$ が成り立つ。 このような $\mathbf{p}$ を用いて、 行列 $R$ を
と定義すると、 $(2)(3)$ より 行列 $R$ は直交行列である。 すなわち、
$$ \tag{4} $$ が成り立つ (「直交行列 ⇔ 列ベクトルが正規直交系」を参考)。 また $(1)(2)(3)$ から 行列 $R^{T} P R$ は、
$$ \tag{5} $$ という形の行列になる。ここで、 行列 $\Lambda_{r}$ を
と定義した。
  $(1)$ より $\lambda_{i} > 0$ $(i=1,\cdots, r)$ であるので、
という形の行列 $S_{r}$ を定義できる。 $S$ には逆行列
があり ($S_{r}^{-1}S_{r}=S_{r}S_{r}^{-1}=I$ が成立することは、 直接計算することにより確かめられる)、 $(S_{r})^{T}=S_{r}$ が成り立つ。 この $S_{r}$ と $(5)$ を用いると、
$$ \tag{6} $$ が成り立つ。 ここで、 行列 $E_{r}$ を
と定義した。 直接計算すると分かるように、 $E_{r}$ には、
が成立する。 これを用いると、
$$ \tag{7} $$ が成り立つ。 ここで、4つ目の等号では逆行列の転置行列の性質を用い、 5つ目の等号では転置行列の積の性質を用いた。 また、 6つ目の等号では、
と定義した。
  一方、 $(7)$ の右辺は、$(4)$ から
である。 以上から、
を得る。

半正定値行列の同値条件
  次の $(1)(2)(3)$ は、同値である。
$(1)$ 任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、 実対称行列 $P$ が $$ \left(\mathbf{x}, \hspace{1mm} P \mathbf{x} \right) \geq 0 $$ を満たす (半正定値行列の定義)。
$(2)$ 半正定値行列 の固有値 は $0$ 以上である。
$(3)$ 任意の半正定値行列 $P$ は、 正方行列 $Q$ とその転置行列 $Q^{T}$ によって、 $$ P = Q^{T}Q $$ と分解することが出来る。
 

証明
 
● $(1) \Longrightarrow (2)$ は、半正定値行列の固有値を参考。
● $(2) \Longrightarrow (3)$ は、半正定値行列の分解 を参考。
● $(3) \Longrightarrow (1)$
  $P=Q^{T}Q$ と表されるならば、任意のベクトル $\mathbf{x}$ に対して、  
半正定値行列の同値条件
が成り立つ。 2行目の等号では内積と転置行列の関係を用いた。
  以上から $(1)(2)(3)$ は、同値である。

半正定値行列のトレース
  半正定値行列 $P$ のトレースは 0 以上である。 すなわち
半正定値行列のトレース
である。

証明
  $n$ 次正方行列 $A$ の作用するベクトル空間の任意の正規直交基底を $\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \}$ と表すとき、 $A$ のトレースは、
と表せる (トレースの正規直交基底による表現を参考)。
  $A$ が半正定値行列の場合、 任意のベクトル $\mathbf{u}$ に対して、
が成り立つので、
である。 したがって
が成り立つ。

トレースが $0$ の半正定値行列は $0$
  半正定値行列 $P$ のトレースが $0$ であるならば、 $P$ も $0$ である。 すなわち、
である。

証明
  半正定値行列は正方行列とその転置行列の積によって分解できるので、 半正定値行列 $P$ を
と分解する正方行列 $Q$ が存在する。
  これより、
となる。 よって、 $ \mathrm{Tr}[P] = 0 $ ならば、
である。これより、
である (正方行列とその転置行列の積のトレースが $0$ の場合には、 行列そのものが 0 になる を参考) 。 したがって、
である。