行列の合同とは？ ～ 具体例と性質 ～

  $A$ と $B$ を $n \times n$ の正方行列とする。 $n \times n$ の正則行列 $P$ によって $A$ と $B$ が の関係を持つとき、 $A$ と $B$ は合同 (congruent) であるという。 ここで $P^T$ は $P$ の転置行列である。   行列 と は合同である。 なぜなら、 によって が成り立つからである。 (1)  実対称行列は合同変換しても実対称行列である。 すなわち、 \begin{eqnarray} (P^{T}AP)^{T} = P^{T}AP \end{eqnarray} が成り立つ (転置行列の積の性質を用いて証明できる)。


(2)  ある基底で構成されるグラム行列 $G$ と別の基底で定義されたグラム行列 $G'$ は合同である。すなわち、 \begin{eqnarray} G' = P^{T}GP \end{eqnarray} が成り立つ (証明は「グラム行列」を参考)。


(3)  半正定値行列 $P$ と合同な行列もまた半正定値行列である。 すなわち、 \begin{eqnarray} P \geq 0 \hspace{1mm} \Longrightarrow \hspace{1mm} S^{T} P S \geq 0 \end{eqnarray} が成り立つ (証明は「半正定値行列」を参考)。