ベクトル空間

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ベクトル空間の定義

議論を簡潔にするために、本ページでは実ベクトル空間を取り扱う。以下の関係 $(\mathrm{I}.1)$ ～ $ (\mathrm{II}.5)$ を満たす集合 $V$ を実ベクトル空間という。
任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ に対して、和が "$+$" が定義されていて、

$$ \tag{I.1} $$

$$ \tag{I.2} $$ が成り立つ。任意の $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V$ に対して

$$ \tag{I.3} $$ が成り立つ。任意の $\mathbf{x} \in V$ に対し、

$$ \tag{I.4} $$ を満たす $\mathbf{0} \in V$ が存在する。 "$\mathbf{0}$" を零ベクトルという。任意の $\mathbf{x} \in V$ に対し、

$$ \tag{I.5} $$ を満たす $\mathbf{x}'$ が存在する。 $\mathbf{x}'$ を $\mathbf{x}$ の逆ベクトルという。以上は、加法の公理と呼ばれる。
$\mathbf{R}$ を実数全体の集合とする。任意の $\mathbf{x}\in V$と任意の $\alpha \in \mathbf{R}$ に対して、スカラー倍 "$\alpha \mathbf{x}$" が定義されていて、

$$ \tag{II.1} $$ である。任意の $\mathbf{x},\mathbf{y} \in V $ と任意の $\alpha \in \mathbf{R}$ に対して、

$$ \tag{II.2} $$ が成り立つ。任意の $\mathbf{x} \in V $ と任意の $\alpha, \beta \in \mathbf{R}$ に対して、

$$ \tag{II.3} $$

$$ \tag{II.4} $$ が成り立つ。任意の $\mathbf{x} \in V $ に対して、

$$ \tag{II.5} $$ が成り立つ。以上の $(\mathrm{II}.1)$ ～ $(\mathrm{II}.5)$ をスカラー倍の公理という。

以上の定義から、ベクトル空間の基本的な性質が導かれる (以下を参考)。

例

$(1)$ 実数を成分とする2行1列の行列全体を $\mathbf{R}^2$ とし、任意の $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^2$ を

と表す。このとき、加法 "+" を

$$ \tag{2.1} $$ と定義し、任意の $\alpha \in \mathbf{R}$ に対して、スカラー倍を

$$ \tag{2.2} $$ と定義する。このとき、 $\mathbf{R}^2$ はベクトル空間を成す。

$(2)$ 正の実数を成分とする2行1列の行列全体を $\mathbf{R}^{2}_{+}$ とし、加法とスカラー倍をそれぞれ $(2.1)$ と $(2.2)$ によって定義すると、 $\mathbf{R}^{2}_{+}$ はベクトル空間を成さない。

解説
$(1)$ ベクトル空間を成すかどうかを順に確認する。任意の $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^2$ に対して

であるので、 $(\mathrm{I}.1)$ は満たされる。

であるので、 $(\mathrm{I}.2)$ は満たされる。任意の $\mathbf{z} \in \mathbf{R}^2$ の成分を

と表すと、

であるので、 $(\mathrm{I}.3)$ は満たされる。 $\mathbf{R}^2$に属する

は、任意の $\mathbf{x} \in\mathbf{R}^2$ に対して、

を満たすので、零ベクトルである。すなわち、

である。よって、$\mathbf{R}^2$ には $(\mathrm{I}.4)$ を満たす $\mathbf{0}$ が存在する。任意の $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^2$ に対して、

は、 $\mathbf{R}^2$ に属し、

を満たすので、 $\mathbf{x}$ の逆ベクトルである。すなわち、任意の $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^{2}$ と $\alpha \in \mathbf{R}$ に対して $(\mathrm{I}.5)$ を満たすベクトルが存在する。
任意の $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^{2}$ に対して