線形写像の例と性質
線形写像と線形変換
実ベクトル空間 $U$
から実ベクトル空間 $V$
への写像
また、$U$ から $U$ 自身への線形写像
例1: フリップ
$2\times 1$
の実行列
$\mathbf{R}^{2}$ の任意の行列を
証明
任意の $\mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{2}$ を
と表すとき、
が成り立つ。
また、
任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
(実数)
に対して、
が成り立つ。
したがって $f$
は線形写像である。
また、
$\mathbf{R}^{2}$
から同じ
$\mathbf{R}^{2}$
への線形写像であるので、
$f$ は線形変換である。
任意の $\mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbf{R}^{2}$ を
例2: $2\times 2$ トレース
$2 \times 2$ の実行列
$ M_{2} $
の任意の行列を
証明
任意の $\mathbf{m},\mathbf{n} \in M_{2}$ を
と表すとき、
が成り立つ。
また、任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
(実数)
に対して、
が成り立つ。
したがって $f$
は線形写像である。
任意の $\mathbf{m},\mathbf{n} \in M_{2}$ を
例3: 微分
区間 $[a,b]$
上の
$\mathrm{C}^{\infty}$ 級関数 の集合を
$\mathrm{C}^{\infty}[a,b]$
と表す。
このとき、導関数に変換する写像
証明
任意の $f,g \in \mathrm{C}^{\infty}[a,b]$ に対し、 和の微分の性質から
が成り立つ。
また、任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
(実数)
に対して、
定数倍の微分の性質により、
が成り立つ。
したがって $D$
は線形写像である。
また、
$D$
は
$\mathrm{C}^{\infty}[a,b]$
から同じ
$\mathrm{C}^{\infty}[a,b]$
への線形写像であるので、
$f$ は線形変換である。
任意の $f,g \in \mathrm{C}^{\infty}[a,b]$ に対し、 和の微分の性質から
基本的性質
$f$ を
ベクトル空間
$U$ からベクトル空間
$V$ への線形写像とする。
このとき、
(1) $\mathbf{0}_{U}$ と $\mathbf{0}_{V}$ をそれぞれ $U$ と $V$ の零ベクトルとするとき、
(2) 任意の $\mathbf{u} \in U$ に対して、
(3) 任意の $\mathbf{u},\mathbf{v} \in U$ と任意の $\alpha,\beta \in \mathbf{R}$ に対して、
証明
$(1)$
零ベクトルの性質より、 任意の $\mathbf{x}_{U} \in U$ と任意の $\mathbf{x}_{V} \in V$ に対して、
$$
\tag{5.1}
$$
が成り立つ。ここで左辺の $0$ は実数の $0$ である。
これらと、
$f$
が 線形写像であることを用いると、
が成り立つ。
ここで3つ目の等号では
$(5.1)$
の第二式を用いた。
$(2)$
逆ベクトルの性質と $f$ が 線形写像であることを用いると、
が成り立つ。
$(3)$
$f$ が 線形写像であることを用いると、
である。
$(1)$
零ベクトルの性質より、 任意の $\mathbf{x}_{U} \in U$ と任意の $\mathbf{x}_{V} \in V$ に対して、
$(2)$
逆ベクトルの性質と $f$ が 線形写像であることを用いると、
$(3)$
$f$ が 線形写像であることを用いると、
合成写像も線形
$U$、$V$、$W$
を実ベクトル空間とし、
$f$ を
$U$
から
$V$
への線形写像、
$g$ を
$V$
から
$W$
への線形写像とする。
このとき、合成写像 $g\circ f$ もまた線形写像である。
証明
$f$ と $g$ が線形写像であることと、 任意の $ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \in U$ に対して、
が成り立つ。また、
任意の
$ \mathbf{u}\in U$
と
任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
に対して、
が成り立つので、
合成写像
$g\circ f$ もまた線形写像である。
$f$ と $g$ が線形写像であることと、 任意の $ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \in U$ に対して、
逆写像も線形
$U$、$V$
を実ベクトル空間とし、
$f$ を
$U$
から
$V$
への線形写像であるとする。
$f$ が全単射であるならば、
$V$ から $U$ への逆写像 $f^{-1}$ が存在する。
このとき、
$f^{-1}$
もまた線形写像である。
証明
はじめに $f^{-1}$ が $f$ の逆写像であるので、
$$
\tag{7.1}
$$
が成り立つ。
ここで
$I_{U}$
と
$I_{V}$
はそれぞれ
$U$
と
$V$
上の恒等写像である。
このとき、
任意の
$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in V$
に対して、
が成り立つ。最後の等号では、
$f$ が線形写像であることを用いた。
これより、
が成り立つ。
これと
$(7.1)$
を用いると、
$$
\tag{7.2}
$$
を得る。
同様に、任意の
$ \mathbf{u}\in U$
と
任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
に対して、
が成り立つ。最後の等号では、
$f$ が線形写像であることを用いた。
これより、
が成り立つ。
これと
$(7.1)$
を用いると、
$$
\tag{7.3}
$$
が成り立つ。
以上の
$(7.2)$
と
$(7.3)$
から逆写像
$f^{-1}$
は線形写像である。
はじめに $f^{-1}$ が $f$ の逆写像であるので、
部分空間とランク
実ベクトル空間 $U$
から実ベクトル空間 $V$
への線形写像
証明
$ \mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f $ が $V$ の部分空間を成すことを証明する。
$\mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ は集合 $U$ の像であるから、 任意の $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in \mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ において
を満たす
$\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \in U$
が存在する。
これと $f$ が線形写像であることから、
$$
\tag{8.1}
$$
である。
同じように、任意の
$ \alpha \in \mathbf{R} $
に対して、
$$
\tag{8.2}
$$
が成り立つ。
以上の
$(8.1)$
と
$(8.2)$
から、
$ \mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ は
$V$
の部分空間を成すことが分かる。
$ \mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f $ が $V$ の部分空間を成すことを証明する。
$\mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ は集合 $U$ の像であるから、 任意の $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in \mathrm{Im}\hspace{0.5mm} f$ において